隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性和平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

1、,,,,,自然界變化的過(guò)程可以分為確知過(guò)程和隨機(jī)過(guò)程兩大類,,每次觀測(cè)所得結(jié)果都相同，都是時(shí)間t的一個(gè)確定的函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律。,每次觀測(cè)所得結(jié)果都不同，都是時(shí)間t的不同函數(shù)，觀測(cè)前又不能預(yù)知觀測(cè)結(jié)果，沒有確定的變化規(guī)律。,確知過(guò)程,隨機(jī)過(guò)程,2.隨機(jī)過(guò)程,,,正弦信號(hào),調(diào)制信號(hào),周期性脈沖信號(hào),雷達(dá)接收機(jī)的噪聲,鳥叫聲,爆破信號(hào),實(shí)際過(guò)程,2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,,,2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,2.2 隨機(jī)過(guò)程

2、的統(tǒng)計(jì)描述,2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,2.4 隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù),2.5 隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度,2.6 典型的隨機(jī)過(guò)程,2.隨機(jī)過(guò)程,,,2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,,,隨機(jī)相位信號(hào),2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,,,接收機(jī)噪聲,t1,1、隨機(jī)過(guò)程(Stochastic Process)定義,2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,,,定義1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S={e}，對(duì)其每一個(gè)元素

3、 都以某種法則確定一個(gè)樣本函數(shù) ,由全部元素{e}所確定的一族樣本函數(shù) 稱為隨機(jī)過(guò)程,簡(jiǎn)記為 。,定義2：設(shè)有一個(gè)過(guò)程 ，若對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻 ， 是一個(gè)隨機(jī)變量，則 稱為隨機(jī)過(guò)程。,隨機(jī)過(guò)程是樣本函數(shù)的集合,隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量的集合,隨機(jī)過(guò)程X(t,e)四種不同情況下的意義：,當(dāng)t固定，e固定時(shí)， X(t) 是一個(gè)確定值；,

4、當(dāng)t固定，e可變時(shí)， X(t) 是一個(gè)隨機(jī)變量；,當(dāng)t可變，e固定時(shí)， X(t) 是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)；,當(dāng)t可變，e可變時(shí)， X(t) 是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程；,2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,,,2、隨機(jī)過(guò)程分類,,2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,,,2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,,,半二元傳輸信號(hào),用無(wú)數(shù)次投擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，,X(t)稱為半二元傳輸信號(hào)。,,2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,,,,,,,,,,,

5、,,0,質(zhì)點(diǎn)沿x軸作隨機(jī)游動(dòng),,,,,,,,,,,0 1 2 3 4 5 6 7,,,,,,,,隨機(jī)游動(dòng),,設(shè)X(n)表示質(zhì)點(diǎn)在t=n時(shí)刻與原點(diǎn)的距離，如果X(n-1)=k，那么，,在實(shí)際中還有一類過(guò)程，它是按照確定的數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生的時(shí)間序列，它是一個(gè)確定性的時(shí)間序列，但它的變化過(guò)程表現(xiàn)出隨機(jī)序列的特征，我們把它稱為偽隨機(jī)序列，偽隨機(jī)序列可以用來(lái)模擬自

6、然界實(shí)際的隨機(jī)過(guò)程 。,偽隨機(jī)序列,2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義,,,,1、一維概率分布,連續(xù)隨機(jī)過(guò)程：,隨機(jī)序列：,2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,,一、隨機(jī)過(guò)程的概率分布,例1、 設(shè)隨機(jī)振幅信號(hào) 其中 是常數(shù)，Y是均值為零，方差為1的正態(tài)隨機(jī)變量，求 時(shí)的概率密度。,2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,,2、二維概率分布,注意：X(t1)及X

7、(t2)為同一隨機(jī)過(guò)程上的隨機(jī)變量。,2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,,例2、設(shè)隨機(jī)相位信號(hào)其中 ，且取值概率各為1/2, 求 ， 時(shí)的一維和二維概率分布。,2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,,,,二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,均值,方差,均值與方差的物理意義：,表示消耗在單位電阻上的總的平均功率。,2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,,,,相關(guān)函數(shù)(correla

8、tion function),,相似均值和方差的隨機(jī)過(guò)程,2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,,協(xié)方差函數(shù),2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,,,,離散隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征,,和,2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,,例3、設(shè)隨機(jī)振幅信號(hào)為其中 為常數(shù)，V是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。求該隨機(jī)信號(hào)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。,2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,離散形式：,,三、隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù),2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,例4、設(shè)

9、 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，其分布為 求隨機(jī)過(guò)程 的一維分布。,2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,第四講：小 結(jié),隨機(jī)過(guò)程,隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性,隨機(jī)過(guò)程是樣本函數(shù)的集合,隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量的集合,隨機(jī)過(guò)程的概率分布,隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,,,均值,方差,,相關(guān)函數(shù)

10、,,協(xié)方差函數(shù),課后作業(yè)：2.3、2.4,隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性,隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù),,,離散形式：,,一、定義,一維概率密度：,二維概率密度：,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,(1)嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(Strictly stationary Process),(2)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(Weakly stationary Process),2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,例1、 設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=At，A為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。試問X(t)是否平穩(wěn)？,例2

11、、 設(shè)隨機(jī)過(guò)程Z(t)=Xcost+Ysint，-?<t< ?。其中X，Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且分別以概率2/3、1/3取值-1和2。試討論隨機(jī)過(guò)程Z(t)的平穩(wěn)性。,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì),若隨機(jī)過(guò)程不含周期分量，,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,相關(guān)函數(shù)示意圖,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,若隨機(jī)過(guò)程含有周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有同周期的周期分量,,例3、已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為

12、 求X(t)的均值和方差。,三、相關(guān)系數(shù)及相關(guān)時(shí)間,相關(guān)系數(shù)：,也稱為歸一化協(xié)方差函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)。,相關(guān)時(shí)間：,相關(guān)時(shí)間示意圖,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,兩個(gè)不同相關(guān)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù),2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,例4、已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 求X(t)的相關(guān)系數(shù)。,四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷性（ergodic）,定義：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)，若有,則

13、X(t)為遍歷過(guò)程。,其中,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程與非各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程示意圖,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,遍歷性判斷：,均值遍歷性：,零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號(hào)：,相關(guān)函數(shù)遍歷性：,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,均值和自相關(guān)函數(shù)估計(jì)：,連續(xù)隨機(jī)過(guò)程：,隨機(jī)序列：,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,例5、判斷隨機(jī)過(guò)程X(t)=Y的遍歷性， 其中Y是方差不為零的隨機(jī)變量。,2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,,第五講：小 結(jié),平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,,嚴(yán)格平穩(wěn)隨