模糊數(shù)學總結

1、一、模糊數(shù)學的產生,概念： 內涵：符合此概念的對象所具有的共同屬性 外延：符合此概念的全體對象 “人”， “法定年齡” ，“大于9的自然數(shù)”“禿”和“非禿”，“一?！焙汀耙欢选保?“高和矮”模糊性（Fuzzy）： 客觀事物差異的中間過渡中的不分明性模糊概念：沒有明確外延的概念模糊數(shù)學：用嚴密的數(shù)學方法研究和處理

2、 具有模糊性現(xiàn)象的數(shù)學理論和方法 目的：盡量如實地反映人們使用模糊概念的本來含意,比禿子多一根頭發(fā)的人仍是禿子,第一章 模糊集合的一般概念§1.1 集合的基本概念,論域：討論所涉及到對象的全體，也稱為全集。通常用大寫的英文字母U，V，W，X 、Y、 Z 等表示論域。元素：論域中的每個對象。u, v, w，x，y集合：給定論域U和某一性質P， U中具有性質P 的元素組成的全體。A, B, C 。集合的表示法：列舉

3、法，描述法 設A 是集合，A的所有子集為元素做成的集合稱為A的冪集，記以P (A)論域U的任一子集A有兩種記法： A ? U 或 A ? P (U),定義1.2 特征函數(shù),給定論域U，對于論域U上的任意一個子集 A（ A ? P (U) 或 A ? U ）,定義一個從論域U 到二元集合{0，1}的映射 :,稱 為A的特征函數(shù)， 為元素 對子集 A的隸屬程度，簡稱隸屬度。,特征函數(shù)

4、是從論域U到二元集合{0，1}的映射 ，如圖所示：,顯然，只要給出論域U的一個子集 A，就唯一地確定一個A的特征函數(shù) ； 反過來，給出U 中一個特征函數(shù) ，也唯一地確定了U 的一個子集 A 。,集合與特征函數(shù)在運算上的關系,（1）包含（2）相等（3）并集（4）交集（5）補集,引入實數(shù)間“取大”和“取小”的運算符號（邏輯中的或、與）“∨”和“∧”代替通常使用的“max”和“min”。,羅

5、素悖論：集合S={A|A是集合，且A?A} 理發(fā)師的故事：不給自己刮臉的人刮臉； 只給所有自己不刮臉的人刮臉。§1.4 模糊子集的定義及運算,§1.4.1 模糊子集的定義及運算,引例：論域U={a，b，c，d}，概念“圓塊”,“d”和“a”具

6、有很大的差異，但從“d”到“a”不是具有突變的差異，而是采取了一個又一個中間過渡狀態(tài)“b”和“c”。處于中間過渡的差異“b”和“c” ，便具有了“亦此亦彼”性。,模糊概念不能用普通集合來刻畫，只能用模糊子集（集合）來表示，而模糊子集需要通過隸屬函數(shù)來描述。,與普通集合“非此即彼”性不同，模糊子集（集合）允許“亦此亦彼”的中間狀態(tài)存在，而對應的特征函數(shù)的取值除了0和1外，還可以取[0，1]區(qū)間中的任何實數(shù)，這種推廣了的特征函數(shù)稱為隸屬函數(shù)

7、。,定義 1.2 特征函數(shù),給定論域U，對于論域U上的任意一個子集A（ A ? P (U) 或 A ? U ）,定義一個從論域U到二元集合{0，1}的映射 :,稱 為A的特征函數(shù)， 為元素 對子集A的隸屬程度，簡稱隸屬度。,,1.3,隸屬,給定論域U，以及映射,稱由此映射所決定的子集為U上的一個模糊子集，記為 ，而稱映射 為 的隸屬函數(shù)。 稱 為元素 對模糊子集

8、 的隸屬度。,特征函數(shù)是從論域U到二元集合{0，1}的映射 ，如右圖所示：,隸屬函數(shù)是從論域U到閉區(qū)間 [ 0，1 ]的映射 ，如左圖所示：,顯然，只要給出論域U 的一個子集 A，就唯一地確定一個A的特征函數(shù) ； 反過來，給出U中一個特征函數(shù) ，也唯一地確定了U的一個子集 A 。,表示元素 對模糊子集 的隸屬度，當 （隸屬函數(shù)）的值域為{0，1}時，沒有中間過渡狀態(tài)，

9、 退化為一個普通集合的特征函數(shù) ， （模糊子集）退化為普通集合A。,,一、當論域U={u1，u2，u3， un}由有限個元素組成時（有限論域）,向量法：論域U中模糊子集可以用向量表示,(2)元素對法：論域中的元素 及其對模糊子集 的隸屬度 組成。,(3)分式求和法：（zadeh表示法）,,(3)分式求和法：,注意：不要把上式右端當做分式求和?！埃碧柌槐硎厩蠛?，而是表示將

10、各項匯總，表示集合概念。,“圓塊”模糊子集：,并不表示分數(shù)，表達 與其隸屬度 之間對應關系，分母是論域中的元素 ，分子 是相應元素 的隸屬度。約定，隸屬度為0時， 項可省略。,普通集合與模糊子集的區(qū)別與聯(lián)系,明確外延：經(jīng)典數(shù)學,外延不明確：模糊數(shù)學,映射,映射,特征函數(shù)，隸屬度，冪集,隸屬函數(shù)，隸屬度，冪集,列舉法，描述法：直觀

11、特征函數(shù)法：數(shù)學表現(xiàn),向量法,元素對法,分式求和法 Zadeh法：,普通集合是模糊子集的特例！,特別的，論域U等普通集合可用模糊子集表示，例如，論域 （有限論域）,普通集合與模糊子集的區(qū)別與聯(lián)系,運算性質對比,不滿足互補律，亦此亦彼性,第一次作業(yè),1、什么是模糊性？2、普通集合與模糊子集的區(qū)別與聯(lián)系？3、已知論域U={a，b，c，d },“圓塊”模糊子集：,“方塊”模糊子