1.4-次序統(tǒng)計量及其分布

1、1.4 次序統(tǒng)計量及其分布,一、次序統(tǒng)計量。,定義 設(shè) X1, X2, …, Xn 是取自總體X的樣本, X(i) 稱為該樣本的第i 個次序統(tǒng)計量，它的取值是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第 i 個觀測值。其中X(1)=min?X1, X2, …, Xn?稱為該樣本的最小次序統(tǒng)計量， X(n)=max?X1, X2, …, Xn?稱為該樣本的最大次序統(tǒng)計量。,例 設(shè)總體X 的分布為僅取0,1,2的離散均勻分布,分

2、 布列為,樣本X1, X2,…,Xn 是獨立同分布的，而次序統(tǒng)計量 X(1), X(2),…, X(n) 則既不獨立，分布也不相同。,現(xiàn)從中抽取容量為3的樣本，其一切可能取值有33=27種，下表列出了這些值，由此,這三個次序統(tǒng)計量的分布是不相同的。,可給出的 X(1) , X(2), X(3) 分布列如下：,進一步, 給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布, 如:X(1) 和X(2) 的聯(lián)合分布列為,因為 P(X(1) = 0,

3、 X(2) = 0) =7/27 ，,因為 P( X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ，,二者不等，由此可看出X(1) 和 X(2)是不獨立的。,而 P( X(1) = 0)*P( X(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，,定理1：次序統(tǒng)計量是充分統(tǒng)計量.,證明：,二、單個次序統(tǒng)計量的分布,定理2 設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x), 分布函數(shù)為F(x), X1, X2,…, Xn為樣本, 則第k個

4、次序統(tǒng)計量X(k)的密度函數(shù)為,三、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布,對任意多個次序統(tǒng)計量可給出其聯(lián)合分布，以兩個為例說明：,定理3 次序統(tǒng)計量 (x(i), x(j)), (i ? j) 的聯(lián)合分布密度函數(shù)為,對n個次序統(tǒng)計量也可給出其聯(lián)合分布，,定理：設(shè)總體 的密度函數(shù)為 分布 函數(shù)為F(x), 為樣本，則次序統(tǒng)計量 的聯(lián)合分布密度函數(shù)為,樣本中位數(shù)和樣本極差,設(shè)