中國礦業(yè)大學工程數(shù)學第五章

1、第五章 留數(shù),第一節(jié) 孤立奇點,5.1 解析函數(shù)的孤立奇點,由于函數(shù)f(z)在去掉圓心的圓盤,內(nèi)解析，則在D內(nèi)，f(z)有洛朗展式,其中,是圓,孤立奇點的分類—可去奇點：,一般地，對于上述函數(shù)f(z)，按照它的洛朗展式含負次冪的情況（主要部分的情況），可以把孤立奇點分類如下：（1）如果無負次冪項,即當n=-1,-2,-3,…，時,那么我們說z0是f(z)的可去奇點。,這時 令 ，就得到在整個圓盤

2、 內(nèi)的解析函數(shù)f(z)。,如果補充定義:,時,,（2）、如果只有有限個負次冪項,即有限個（至少一個）負整數(shù)n，使得,那么我們說z0是f(z)的極點。,設對于正整數(shù)m，,而當n<-m時， 即負次冪項最高為m次,那么我們稱z0是f(z)的m階(級）極點。,（3）、如果有無窮個負次冪項,即無限個整數(shù)n<0，使得,那么我們說 是f(z)的本性奇點。,例如，0分別是,的可去奇點,,

3、一級極點,,本性奇點,定理5.1函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么z0是f(z)的可去奇點的充分與必要條件是：存在著極限，,其中 是一個復常數(shù)。,證明：（必要性）。由假設，在內(nèi)，f(z)有洛朗級數(shù)展式：,因為上式右邊的冪級數(shù)的收斂半徑至少是R，所以它的和函數(shù)在 內(nèi)解析，于是顯然存在著：,（充分性）。設在 內(nèi)，f(z)的洛朗級數(shù)展式是,由假設，存在著兩個正數(shù)M及 ，使得在

4、 內(nèi)，,當n=-1,-2,-3,…時，在上式中令 趨近于0，就得到,于是z0是f(z)的可去奇點。,那么取 ，使得 ，我們有,下面研究極點的特性： 設函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析， 是f(z)的 階極點，那么，f(z)有可表示為：,在這里 。于是在 內(nèi),在這里 是一個在 內(nèi)解析的函數(shù)，并且,反之，如果函數(shù)f(

5、z)在,內(nèi)可以表示成為上面的形狀，而 是一個在 內(nèi)解析的函數(shù)，并且，那么可以推出 是f(z)的m階極點。,定理5.2 設函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么z0是f(z)的極點的充分與必要條件是：,關于解析函數(shù)的本性奇點，我們有下面的結(jié)論：定理5.3 函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么 是f(z)的本性奇點的充分必要條件是： 不存在有限或無窮極限,例2 0是函數(shù) 的本性奇點，

6、 不難看出 不存在。,解：當z沿正實軸趨近于0時， 趨近于,當z沿負實軸趨近于0時， 趨近于0；,,解析函數(shù)的零點,設不恒為零的函數(shù)f(z)在z0的鄰域U內(nèi)解析，并且,那么稱z0為f(z)的零點。設f(z)在U內(nèi)的泰勒展式是：,并且存在正整數(shù)m，,而對于n<m，,那么我們說z0是f(z)的m階零點。,如果z0是解析函數(shù)f(z)的一個m階零點，那么顯然在它的一個鄰域U內(nèi),其中 在U內(nèi)解析。

7、,定理5.1 設函數(shù)f(z)在z0解析，并且z0是它的一個零點，那么存在著z0的一個鄰域，在其中z0是f(z)的唯一零點。,因此存在一個正數(shù) ，使得當,時， 。于是,條件很容易證明.,3.零點與極點的關系,證,,那末,當 時,,解析且,,解析且,當 時 ,,由于,只要令,說明 此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為,簡便的方法.,解,這些奇點是,是孤立奇點.,說明 此定

8、理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為,簡便的方法.,解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì),設函數(shù)f(z)在區(qū)域,內(nèi)解析，那么無窮遠點稱為f(z)的孤立奇點。在這個區(qū)域內(nèi)，f(z)有洛朗級數(shù)展式：,其中系數(shù)由定理4.4中類似的公式確定。,令 ，按照R>0或R=0，我們得到在,或,內(nèi)解析的函數(shù),其洛朗級數(shù)展式是：,如果w=0是 的可去奇點、（m階）極點或本性奇點，那么分別說 是f(z)的可去奇點、（m階）極點或本性奇

9、點。,（1）、如果當時n=1,2,3,…， ，那么 是f(z)的可去奇點。,（2）、如果只有有限個（至少一個）整數(shù)n，使得 ，那么 是f(z)的極點。,設對于正整數(shù)m， ，而當n>m時，那么我們稱 是f(z)的m階極點。,（3）、如果有無限個整數(shù)n>0，使得 ，那么我們說 是f(z)的本性奇點。,定理 設函數(shù)f(z)在區(qū)

10、域 內(nèi)解析，那么 是f(z)的可去奇點、極點或本性奇點的充分必要條件是：,存在著極限 、無窮極限、不存在有限或無窮的極限 。,注解、上一段的結(jié)論都可以推廣到無窮遠點的情形，我們綜合如下：,解,所以,也可以因為,第五章 留數(shù)理論及應用,第2節(jié) 留數(shù),35,留數(shù)的概念,設函數(shù)f(z)在區(qū)域0<| z-z0|<R內(nèi)解析。C是z0鄰域內(nèi)的任意一條包含z0簡單正向閉曲線,那么如果

11、f(z)在z0也解析，則上面的積分等于零；,如果z0是f(z)的孤立奇點，則上述積分就不一定等于零；這時，我們把積分,考慮積分,36,定義為f(z)在孤立奇點z0處的留數(shù)，記作,這里積分是沿著C按逆時針方向取的。,事實上，在0<| z-z0|<R內(nèi)，f(z)有洛朗展式：,而且這一展式在C上收斂。,因此，,37,,注解1: f(z)在孤立奇點z0的留數(shù)等于其洛朗級數(shù)展式中,的系數(shù)。,注解2:如果z0是f(z)的可去奇點

12、，那么,38,留數(shù)定義為我們提供了兩個計算留數(shù)的方法：一是將,在,內(nèi)展開成羅朗級數(shù)，取其負一次冪項的系數(shù),二是計算,.,39,40,41,定理一（留數(shù)定理）設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點,那末：,外處處解析，C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，,42,,D,,,,,,,z1,z2,z3,zn,,,,,,,C1,C2,C3,Cn,C,,,43,證明：以D內(nèi)每一個孤立奇點zk為心，作正向簡單閉曲線Ck，,并且使任意兩個

13、這樣的閉曲線彼此無公共點。從D中除去以這些Ck為邊界的閉曲線的一個區(qū)域G，其邊界是C以及Ck，,根據(jù)復合閉路定理，,這里沿C的積分按關于區(qū)域D的正向取的，沿Ck的積分按反時針方向取的。,[證畢],兩邊同時除以 且,45,留數(shù)的計算方法,46,首先考慮一階極點的情形。設z0是f(z)的一個一階極點。因此在去掉中心z0的某一圓盤內(nèi),其中 在這個圓盤內(nèi)包括z=z0解析，其泰勒級數(shù)展式是：,47,而且

14、 。顯然，在f(z)的洛朗級數(shù)中，,的系數(shù)等于 ，因此,一級極點的留數(shù)求法,48,如果在上述去掉中心z0的圓盤內(nèi)（ ），,其中P(z)及Q(z)在這圓盤內(nèi)包括在z0解析，,z0是Q(z)的一階零點，并且Q(z)在這圓盤內(nèi)沒有其他零點，那么z0是f(z)的一階極點，因而,49,50,例3、   函數(shù),因此,有兩個一階極點 ，這時,51,其次，我們考慮高階極點的情形。設z0是f

15、(z)的一個k階極點(k>1)。這就是說，在去掉中心z0的某一圓盤內(nèi)( ),其中 在這個圓盤內(nèi)包括z=z0解析，其泰勒級數(shù)展式是：,52,由此可見，,顯然，,因此問題轉(zhuǎn)化為求 泰勒級數(shù)展式的系數(shù)。,如果容易求出它的泰勒級數(shù)展式，那么由此可得,53,因此，我們也可根據(jù)下列公式計算,我們也可以用下面的方法證明：,54,55,56,例4、函數(shù),在z=0有三階極點，則（用洛朗展式方法）,因此,由上述公式也可得

16、：,57,例5、函數(shù),在z=i是二階極點。這時,由上述公式可得：,58,定義5.2.2： 無限遠點留數(shù),59,60,61,62,(積分曲線為逆時針方向),63,64,65,66,67,例9　計算下列積分,解,68,解,為一級極點,,為二級極點,,解,點外, 其他奇點為,則,所以,73,解,為奇點,,當 時 為一級極點，,74,75,解,例14 計算,原式,第五章 留數(shù)理論及應用,第3節(jié) 留數(shù)定理的

17、應用,留數(shù)定理的應用--積分的計算:,在數(shù)學分析中，以及許多實際問題中，往往要求計算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；例如,或者有時可以求出原函數(shù)，但計算也往往非常復雜，例如,例1、   計算積分,其中常數(shù)a>1。,而且當t從0增加到,解：令 ，那么,時，z按逆時針方向繞圓C:|z|=1 一周。,因此,于是應用留數(shù)定理，只需計算,在|z|&

18、lt;1內(nèi)極點處的留數(shù)，就可求出I。上面的被積函數(shù)有兩個極點：,顯然,因此被積函數(shù)在|z|<1內(nèi)只有一個極點z1，而它在這點的留數(shù)是：,于是求得,注解1、應用同樣得方法，我們可以計算一般形如,的積分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零。,83,若有理函數(shù) R(x)的分母至少比分子高兩次,,并且分母在實軸上無孤立奇點.,一般設,分析,可先討論,最后令,即可 .,二、形如

19、 的積分,84,2. 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:,取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線, 使與區(qū)間,一起構(gòu)成一條封閉曲線, 并使R(z)在其內(nèi)部除有,限孤立奇點外處處解析.,1. 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:,(當z在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時 , R(z)=R(x)),,可取 f(z)=R(z) .,85,這里可補線,(以原點為中心 , R為半徑,的在上半平面的半圓周),內(nèi)部(除去有限孤立奇點）處處解析.,取R適當大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點,都包在

20、這積分路線內(nèi).,86,根據(jù)留數(shù)定理得 :,當 充分大時, 總可使,87,88,例2 計算積分,解,89,例3、   計算積分,解：首先，這是一個廣義積分，它顯然是收斂的。我們應用留數(shù)定理來計算它?？紤]函數(shù),這個函數(shù)有兩個二階極點，在上半平面上的一個是z=i。,考慮這一圓盤在上半平面的部分，,注解1、應用同樣得方法，我們可以計算一般形如,的積分，其中R(x)是有理分式,R(z)在實軸上沒有孤立奇點，