數學歸納法及其應用舉例

1、數學歸納法及其應用舉例,安徽師大附中 吳中才,教材分析,學生學情,教學目標,方法手段,教學程序,板書設計,數學歸納法及其應用舉例,教材分析,教學內容,地位作用,重點難點,數學歸納法及其應用舉例是人民教育出版社全日制普通高級中學教科書數學第三冊(選修II)第二章第一節(jié)的內容，根據教學大綱，本節(jié)共3課時，這是第1課時, 主要內容是數學歸納法理解與簡單應用．,數學歸納法學習是數列知識的深入與擴展,也是一種重要的數學方法,可以使學生學會一種研究

2、數學的科學方法．,重點：歸納法意義的認識和數學歸納法產生過程的分析． 難點：數學歸納法中遞推思想的理解．,數學歸納法及其應用舉例,學生學情,知識準備,能力儲備,學生情況,學生對等差（比）數列、數列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，同時也具備一定的從特殊到一般的歸納能力，但對歸納的概念是模糊的．,學生經過中學五年的數學學習，已具有一定的推理能力，數學思維也逐步向理性層次躍進，并逐步形成了辨證思維體系．但學生自主探究問題

3、的能力普遍還不夠理想．,我所在的學校是省屬重點中學，所教的班級是平行班，學生基礎還不錯.,數學歸納法及其應用舉例,教學目標,知識與技能,過程與方法,情感態(tài)度價值觀,了解歸納法, 理解數學歸納的原理與實質．掌握兩個步驟；會證明簡單的與自然數有關的命題．培養(yǎng)學生觀察, 分析, 論證的能力, 發(fā)展抽象思維能力和創(chuàng)新能力．培養(yǎng)學生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質以及發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識和數學交流的能力．,努力創(chuàng)設課堂愉悅情境，使學生處于積極

4、思考、大膽質疑氛圍，提高學生學習的興趣和課堂效率．讓學生經歷知識的構建過程, 體會類比的數學思想．,讓學生領悟數學思想和辯證唯物主義觀點；體會研究數學問題的一種方法, 激發(fā)學生的學習熱情，使學生初步形成做數學的意識和科學精神．,數學歸納法及其應用舉例,方法手段,教學方法,學法指導,教學手段,類比啟發(fā)探究式教學方法進行教學,在教學過程中，我不僅要傳授學生課本知識，還要培養(yǎng)學生主動觀察、主動思考、親自動手、自我發(fā)現(xiàn)等學習能力，增強學生的綜合

5、素質，從而達到較為理想的教學終極目標．,借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材,真正輔助課堂教學.,數學歸納法及其應用舉例,教學程序,第一階段:輸入階段,第二階段:新舊知識相互作用階段,第三階段:操作階段,創(chuàng)設問題情境，啟動學生思維;回顧數學舊知，追溯歸納意識;借助數學史料, 促使學生思辨.,搜索生活實例，激發(fā)學習興趣;類比數學問題, 激起思維浪花;引導學生概括, 形成科學方法.,蘊含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識;基礎反饋練習, 鞏固

6、方法應用;師生共同小結, 完成概括提升;布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊.,教學設計三條線:1.知識線;2.思想方法線;3.邏輯思維線.,第一階段:輸入階段,創(chuàng)設問題情境，啟動學生思維,(1) 不完全歸納法引例,明朝劉元卿編的《應諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學寫字．這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結論顯然是錯誤的．,(2) 完全歸納法對比引例,有一位師傅想考考

7、他的兩個徒弟，看誰更聰明一些．他給每人筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l先給出答案．大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟比大徒弟聰明．,第一階段:輸入階段,回顧數學舊知，追溯歸納意識,(1) 不完全歸納法實例,給出等差數列前四項, 寫出該數列的通項公式．,(2) 完全歸納法實例,證明圓周角定理分圓心在

8、圓周角內部、外部及一邊上三種情況．,第一階段:輸入階段,借助數學史料, 促使學生思辨,問題1 已知 = (n∈N*),(1)分別求 , , , .(2)由此你能得到一個什么結論? 這個結論正確嗎?,,,問題2 費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數學家，他曾認為，當n∈N時， 一定都是質數，這是他對n＝0，1，

9、2，3，4作了驗證后得到的．后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了 ＝4 294 967 297＝6 700 417×641，從而否定了費馬的推測．沒想到當n＝5這一結論便不成立．,問題3 ,當n∈N時，是否都為質數？ 驗證： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）

10、＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，… ， f（39）＝1 601． 但是 f（40）＝1 681＝ ，是合數．,第二階段:新舊知識相互作用階段,搜索生活實例，激發(fā)學習興趣,多米諾成功的關鍵有兩點：(1) 第一張牌被推倒； (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下． 于是, 我們可以下結論： 多米諾骨牌會全部倒下．,搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊對齊等．,第二階段

11、:新舊知識相互作用階段,類比數學問題, 激起思維浪花,第二階段:新舊知識相互作用階段,引導學生概括, 形成科學方法,第三階段:操作階段,蘊含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識,第三階段:操作階段,基礎反饋練習, 鞏固方法應用,（1）（第63頁例1）用數學歸納法證明： 1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2 .,第三階段:操作階段,師生共同小結, 完成概括提升,(1) 本節(jié)課的中心內容是歸納法和數學歸納法；(2) 歸納法是一種

12、由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性，數學歸納法屬于完全歸納法；(3) 數學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的使用要點可概括為：兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉；(4) 本節(jié)課所涉及到的數學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想．,第三階段:操作階段,

13、布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊,,,,(1) 課本第64頁練習第1, 2題；第67頁習題2.1第2題．(2) (辨析與思考) 用數學歸納法證明 1+2+22+23+…+2n－１ = 2n－1(n∈ N*)時, 其中第二步采用下面的證法： 設n＝k時等式成立, 即1+2+22+23+…+2k－1=2k－1, 則當n＝k＋1時,

14、 ,即n＝k＋1時等式也成立．,數學歸納法及其應用舉例,板書設計,2.1 數學歸納法及其應用舉例 問題1 例題(猜想,證明過程的板書) 問題2 問題3 練習1 練習2