數(shù)學(xué)建模-問題與挑戰(zhàn) - 北京師范大學(xué)精品課程網(wǎng)

1、數(shù)學(xué)建模-問題與挑戰(zhàn),2009 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院學(xué)生實踐周活動數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院黃海洋 崔麗,賽前準(zhǔn)備,數(shù)學(xué)建模課程學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀數(shù)學(xué)建模論文，重復(fù)前人的工作，不僅學(xué)習(xí)什么做，而且探究為什么要這樣做。熟悉幾種基本的算法，自己編程練習(xí)。練習(xí)寫作，寫摘要。注意全國賽題和競賽要求與學(xué)校競賽有很大的不同！,參賽過程,讀題，明確目標(biāo)。查找資料，咨詢專家，不要被資料淹沒。分工合作，充分討論。文章寫作盡早動手，表達清楚，符號標(biāo)注，語言通俗易懂

2、。,數(shù)學(xué)建模要點,一.讀懂問題，明確要求是什么。開始，最重要的不是新奇想法，而是明確提問要求的是什么，解決問題的關(guān)鍵所在。多讀幾遍題目，學(xué)會傾聽別人意見,通過辯論,真正理解問題,找到解決問題的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)的看家本領(lǐng)就是把概念弄清楚。 把數(shù)學(xué)定義選擇好，實際問題就迎刃而解。,2006D題: 煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制,煤礦安全生產(chǎn)是我國目前亟待解決的問題之一，做好井下瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制是實現(xiàn)安全生產(chǎn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)（見附件1）

3、 瓦斯是一種無毒、無色、無味的可燃氣體，其主要成分是甲烷，在礦井中它通常從煤巖裂縫中涌出。瓦斯爆炸需要三個條件：空氣中瓦斯達到一定的濃度；足夠的氧氣；一定溫度的引火源。 煤塵是在煤炭開采過程中產(chǎn)生的可燃性粉塵。煤塵爆炸必須具備三個條件:煤塵本身具有爆炸性；煤塵懸浮于空氣中并達到一定的濃度；存在引爆的高溫?zé)嵩?。試驗表明，一般情況下煤塵的爆炸濃度是30～ 2000g/m3，而當(dāng)?shù)V井空氣中瓦斯?jié)舛仍黾訒r，會使煤塵爆炸下限降低，

4、結(jié)果如附表1所示。,首先要學(xué)會閱讀！,國家《煤礦安全規(guī)程》給出了煤礦預(yù)防瓦斯爆炸的措施和操作規(guī)程，以及相應(yīng)的專業(yè)標(biāo)準(zhǔn) (見附件2)。規(guī)程要求煤礦必須安裝完善的通風(fēng)系統(tǒng)和瓦斯自動監(jiān)控系統(tǒng)，所有的采煤工作面、掘進面和回風(fēng)巷都要安裝甲烷傳感器，每個傳感器都與地面控制中心相連，當(dāng)井下瓦斯?jié)舛瘸瑯?biāo)時，控制中心將自動切斷電源，停止采煤作業(yè)，人員撤離采煤現(xiàn)場。具體內(nèi)容見附件2的第二章和第三章。附圖1是有兩個采煤工作面和一個掘進工作面的礦井通風(fēng)系統(tǒng)示

5、意圖，請你結(jié)合附表2的監(jiān)測數(shù)據(jù)，按照煤礦開采的實際情況研究下列問題：,（1）根據(jù)《煤礦安全規(guī)程》第一百三十三條的分類標(biāo)準(zhǔn) (見附件2)，鑒別該礦是屬于“低瓦斯礦井”還是“高瓦斯礦井”。（2）根據(jù)《煤礦安全規(guī)程》第一百六十八條的規(guī)定，并參照附表1，判斷該煤礦不安全的程度（即發(fā)生爆炸事故的可能性）有多大？ （3）為了保障安全生產(chǎn)，利用兩個可控風(fēng)門調(diào)節(jié)各采煤工作面的風(fēng)量，通過一個局部通風(fēng)機和風(fēng)筒實現(xiàn)掘進巷的通風(fēng)（見下面的注）。根據(jù)附圖1所

6、示各井巷風(fēng)量的分流情況、對各井巷中風(fēng)速的要求（見《煤礦安全規(guī)程》第一百零一條），以及瓦斯和煤塵等因素的影響，確定該煤礦所需要的最佳（總）通風(fēng)量，以及兩個采煤工作面所需要的風(fēng)量和局部通風(fēng)機的額定風(fēng)量（實際中，井巷可能會出現(xiàn)漏風(fēng)現(xiàn)象）。,明確題目要求和解題要點！,確定最佳通風(fēng)量,典型的優(yōu)化問題!,注 掘進巷需要安裝局部通風(fēng)機，其額定風(fēng)量一般為150~400 m3/min。局部通風(fēng)機所在的巷道中至少需要有15%的余裕風(fēng)量（新鮮風(fēng)）才能保證風(fēng)

7、在巷道中的正常流動，否則可能會出現(xiàn)負壓導(dǎo)致乏風(fēng)逆流，即局部通風(fēng)機將乏風(fēng)吸入并送至掘進工作面。名詞解釋（1）采煤工作面：礦井中進行開采的煤壁 (采煤現(xiàn)場)（2）掘進巷：用爆破或機械等方法開鑿出的地下巷道用以準(zhǔn)備新的采煤區(qū)和采煤工作面。（3）掘進工作面：掘進巷盡頭的開掘現(xiàn)場。（4）新鮮風(fēng)：不含瓦斯和煤塵等有害物質(zhì)的風(fēng)流。（5）乏風(fēng)：含有一定濃度的瓦斯和煤塵等有害物質(zhì)的風(fēng)流。,1 鑒別該礦是屬于“低瓦斯礦井”還是“高瓦斯礦井”,高

8、瓦斯礦井：絕對瓦斯量>40m3/min，或者相對瓦斯量>10 m3/ t（噸）。對2個工作面、1個掘進面，2個回風(fēng)巷，總回風(fēng)巷，共6個位置記錄了30天早、中、晚瓦斯?jié)舛菴i、風(fēng)速vi、煤塵di，日產(chǎn)煤量Ai等共540個數(shù)據(jù)。圖示：主巷道斷面大約為5 m2，其他各采煤區(qū)的進風(fēng)巷、回風(fēng)巷和掘進巷的斷面大約為4 m2。 由總回風(fēng)巷瓦斯?jié)舛群惋L(fēng)速計算絕對瓦斯涌出量Gi=5*60*vi*Ci m3/min 和相對瓦斯涌出量gi=

9、Gi/Ai m3/t。均值分別為9.7482 m3/min和 23.1705 m3/t 結(jié)論：該煤礦為高瓦斯礦。,2.不安全的程度有多大？,規(guī)程136條：瓦斯安全臨界點c=1%根據(jù)瓦斯?jié)舛扰c煤塵爆炸下限濃度關(guān)系統(tǒng)計30天內(nèi)3個工作面瓦斯?jié)舛瘸瑯?biāo)次數(shù) n1=52個巷道瓦斯?jié)舛瘸瑯?biāo)次數(shù)n2=200< ci <0.5且22.5< di <50 和0.5< ci <1且15< di <

10、;37.5 的次數(shù)n3=0不安全概率 p=(n1+n2+n3)/(3*540)?0.0145,初等統(tǒng)計就可以說明問題！,3.確定最佳（總）通風(fēng)量，以及兩個采煤工作面所需要的風(fēng)量和局部通風(fēng)機的額定風(fēng)量,通風(fēng)量Q由風(fēng)速v確定，Q=巷道橫截面積*v.實現(xiàn)最佳通風(fēng)量目標(biāo)的決策變量是風(fēng)速v。規(guī)程要求瓦斯?jié)舛? m3/min。在滿足對風(fēng)量的基本要求下，總回風(fēng)巷通風(fēng)量最小就是最佳的通風(fēng)量目標(biāo)。,優(yōu)化模型min Q=5*60*v6* 總（

11、回風(fēng)巷）通風(fēng)量最小v1+v2+v3=4*60*(v4+v5)+4*60*v3/0.85 巷道分流要求,最佳通風(fēng)量 Q=2093.47m3/min實際通風(fēng)量 Q=5*60*v=1558.9m3/min 由最佳風(fēng)速，可以運用公式Q=Sk*60*vk計算各工作面和回風(fēng)巷的最佳風(fēng)量Q1=719,Q2=944,Q3=320,Q4=719,Q5=998，以及局部通風(fēng)機的合理的額定風(fēng)量Q3=4*60*v3=320。,二.合理假設(shè)，抓住關(guān)鍵。

12、通過假設(shè)，將復(fù)雜的問題分成若干個簡單的討論，將不確定的情況分成幾個確定的情況討論。數(shù)學(xué)建模成功與否，關(guān)鍵在假設(shè)，在切合實際與數(shù)學(xué)簡化之間選擇恰當(dāng)?shù)钠胶恻c, 體現(xiàn)了建模工作的想象力和創(chuàng)造力。,2007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目A題：中國人口增長預(yù)測,中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)建模的方法，對中國人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題。,近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，

13、例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》(附錄1) 還做出了進一步的分析。 關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從《中國人口統(tǒng)計年鑒》上收集到的部分數(shù)據(jù)。,試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對

14、中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。,附件1 國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告（全文）中國人口網(wǎng)     2007-02-01 15:59:21http://www.chinapop.gov.cn/fzzlbg/bgyw/t20070111_172058513.html,基本判斷： 如果人口總量（不含香港、澳門特別行政區(qū)和臺灣?。┓逯悼刂圃?5億人左

15、右，全國總和生育率在未來30年應(yīng)保持在1.8左右，過高或過低都不利于人口與經(jīng)濟社會的協(xié)調(diào)發(fā)展。 按此預(yù)測，總?cè)丝趯⒂?010年、2020年分別達到13.6億人和14.5億人，2033年前后達到峰值15億人左右。勞動年齡人口規(guī)模龐大。我國15-64歲的勞動年齡人口2000年為8.6億人，2016年將達到高峰10.1億人。,近半個世紀(jì)以來，世界人口發(fā)展的基本態(tài)勢：一是生育水平逐步下降，人口總量經(jīng)歷高速增長后進入增速趨緩時期。發(fā)展中國家總

16、和生育率從6.2下降到2.9,發(fā)達國家從2.8下降到1.6。據(jù)聯(lián)合國預(yù)測，到本世紀(jì)中葉，全球人口再生產(chǎn)類型轉(zhuǎn)變將基本完成。二是人口年齡結(jié)構(gòu)持續(xù)老齡化。2000年，世界60歲以上和65歲以上老年人口比重分別達到10%和7%，歐洲為20%和15%。三是人口素質(zhì)成為綜合國力競爭的核心，在經(jīng)濟社會發(fā)展中的作用更加突出。四是人口城鎮(zhèn)化快速發(fā)展，城鎮(zhèn)人口接近50%。,世界人口發(fā)展,人口老齡化：我國60歲以上老年人口已達1.43億，占總?cè)丝诘?

17、1%，預(yù)計本世紀(jì)40年代后期形成老齡人口高峰平臺，60歲以上老年人口達4.3億人，比重達30%； 65歲以上老年人口達3.2億多人，比重達22%。屆時每3－4人中就有1名老年人出生人口性別比續(xù)升高：第五次全國人口普查為117， 2003年抽樣調(diào)查為119，個別省份超過130。人口流動遷移規(guī)模龐大：按人口城鎮(zhèn)化水平年均增長1個百分點測算，今后20年將有3億農(nóng)村人口陸續(xù)轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口。,中國人口增長特點,附件2 數(shù)據(jù)包括 (1) 2

18、001至2005年，年齡 0~90的 ‰統(tǒng)計年齡 20市男性比率 死亡率 女性比率 死亡率 生育率 0.69 0.59 0.74 0.06 29.01鎮(zhèn)男性比率 死亡率 女性比率 死亡率 生育率 0. 52 0.73 0.51 0.28 68.23鄉(xiāng)男

19、性比率 死亡率 女性比率 死亡率 生育率 0.53 1.91 0.53 0.82 95.01(2)1994至2005年市、鎮(zhèn)和鄉(xiāng)男女出生比例，女以100計。如男女出生比例108.81，指男女出生比=108.81:100；,解答要點模型類型： 確定性動力系統(tǒng)，差分、微分方程。數(shù)據(jù)分析：育齡婦女生育率、出生人口性別比、死亡率、人口年齡分布、農(nóng)

20、村人口城鎮(zhèn)化。求解預(yù)測：繪圖表并與《報告》中的結(jié)果比對分析。,模型一. 按年齡分組人口增長的Leslie模型,假設(shè)：僅考慮出生率死亡率對人口增長的影響。記xi(t)為第t年i歲（滿i周歲而不滿 i+1周歲）的人數(shù)，d(i)為i歲人口的死亡率，則1-d(i)為存活率（1表示1000人），對i=1,2,…,89, t=1,2,…,,b(i)為i歲女性的生育率：總和生育率：記k(i)為i歲的人口女性比，則第t年出生人口數(shù)為：,第

21、t年存活下來的嬰兒數(shù)為 第t+1年一歲兒童數(shù)為引入年齡向量,存活率矩陣： 出生率矩陣：人口發(fā)展模型一,模型二：基于性別的人口發(fā)展模型,假設(shè)：除了考慮出生率死亡率，還考慮到性別歧視對人口增長的影響。 記xmi(t)，xwi(t)分別為第t年i歲的男性人數(shù)和女性人數(shù)，dmi(t),dwi(t)分別為第t年i歲的男性死亡率和女性死亡率。女性人口發(fā)展的差分方程：第t年出生人口數(shù)為： 新生女嬰數(shù)：

22、其中 ? 為出生男女性別比。,第t年存活下來的女嬰數(shù)為：第t+1年一歲女嬰數(shù)為：女性人口發(fā)展模型人口發(fā)展模型二：,模型三：基于城鎮(zhèn)化的遷移人口模型,假設(shè)：在模型二基礎(chǔ)上，引入遷移等社會因素的影響。農(nóng)村流動人口按城市和鄉(xiāng)鎮(zhèn)目前的人口總量的比例分配。記城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)和農(nóng)村第t年總?cè)丝跀?shù)分別為XC(t), XZ(t), XX(t),全國總?cè)丝跀?shù)為X(t)=XC(t)+XZ(t)+XX(t)。第t年i歲的人口數(shù)分

23、別為 xci(t),xzi(t),xxi(t），其它變量、矩陣都作類似定義，分別應(yīng)用模型二。第t年城鎮(zhèn)化比率：c(t)=城鎮(zhèn)人口數(shù)/全國人口數(shù)則，農(nóng)村人口實際數(shù)=[1-c(t)]*全國人口數(shù).第t到第t+1年間走出農(nóng)村的流動人口數(shù)為：,各地區(qū)人口總量修正為：人口發(fā)展模型三：XC(t)=XCm(t)+XCw(t)實際總量XC’(t)XZ(t)=XZm(t)+XZw(t)實際總量XZ’(t) XX(t)=XXm(

24、t)+XXw(t)實際總量XX’(t),城、鎮(zhèn)和鄉(xiāng)的人口預(yù)測結(jié)果（以05年人口數(shù)歸一化）,全國總?cè)丝陬A(yù)測,模型參數(shù)估計,生育率按各地區(qū)育齡婦女總數(shù)對β值加權(quán)平均，可以得到全國婦女總和生育率為1.375。根據(jù)國家計劃，30年內(nèi)應(yīng)該把總和生育率控制在1.8以內(nèi)才能將人口峰值控制在15億。,死亡率 中短期預(yù)測取平均值代替,下表列出了1995年至2005年間的城鎮(zhèn)化比例(%) （數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局人口統(tǒng)計年鑒）： 年份 1995 19

25、961997 199819992000200120022003 2004 2005城鎮(zhèn)化 29.04 30.48 31.91 33.3534.78 36.22 37.66 39.09 40.53 41.76 42.99 擬合結(jié)果 c(t)=1.41t-2381.7隨時間變化，每年人口城鎮(zhèn)化增加1.4百分點。,城鎮(zhèn)化比率,三. 建模過程由粗到細。例如確定搜尋路線，先粗略考慮，人員不能

26、分散，即要搜尋遍歷，又要時間最短，不妨先視為一人搜尋，要求不走重復(fù)路，則有一筆畫原則可循，可動手設(shè)計搜尋路線。再仔細計算各種搜尋路線所需時間，就會發(fā)現(xiàn)，一隊搜尋與一人搜尋不同之處在于每次轉(zhuǎn)彎改變隊形，必需空走一段。于是增加一條選線原則，少拐彎。數(shù)學(xué)建模過程從簡單到復(fù)雜，要結(jié)合實際問題的背景.,2008C 題 地面搜索,5.12汶川大地震使震區(qū)地面交通和通訊系統(tǒng)嚴重癱瘓。救災(zāi)指揮部緊急派出多支小分隊，到各個指定區(qū)域執(zhí)行搜索任務(wù)，以

27、確定需要救助的人員的準(zhǔn)確位置。在其它場合也常有類似的搜索任務(wù)。在這種緊急情況下需要解決的重要問題之一是：制定搜索隊伍的行進路線，對預(yù)定區(qū)域進行快速的全面搜索。,通常，每個搜索人員都帶有GPS定位儀、步話機以及食物和生活用品等裝備。隊伍中還有一定數(shù)量的衛(wèi)星電話。GPS可以讓搜索人員知道自己的方位。步話機可以相互進行通訊。衛(wèi)星電話用來向指揮部報告搜索情況。下面是一個簡化的搜索問題。有一個平地矩形目標(biāo)區(qū)域，大小為11200米×720

28、0米，需要進行全境搜索。,假設(shè)：出發(fā)點在區(qū)域中心；搜索完成后需要進行集結(jié)，集結(jié)點（結(jié)束點）在左側(cè)短邊中點；每個人搜索時的可探測半徑為20米，搜索時平均行進速度為0.6米/秒；不需搜索而只是行進時,平均速度為1.2米/秒。每個人帶有GPS定位儀、步話機，步話機通訊半徑為1000米。搜索隊伍若干人為一組,有一個組長，組長還擁有衛(wèi)星電話。每個人搜索到目標(biāo)，需要用步話機及時向組長報告，組長用衛(wèi)星電話向指揮部報告搜索的最新結(jié)果。,現(xiàn)在有如下問題需

29、要解決：1．假定有一支20人一組的搜索隊伍, 擁有1臺衛(wèi)星電話。請設(shè)計一種你認為耗時最短的搜索方式。按照你的方式，搜索完整個區(qū)域的時間是多少? 能否在48小時內(nèi)完成搜索任務(wù)? 如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。2．為了加快速度，搜索隊伍有50人，擁有3臺衛(wèi)星電話，分成3組進行搜索。每組可獨立將搜索情況報告給指揮部門。請設(shè)計一種你認為耗時最短的搜索方式。按照你的搜索方式, 搜索完整個區(qū)域的時間是多少?,四. 論文寫作規(guī)范。文

30、章后面附有參考文獻，正文內(nèi)有引文，做到有理有據(jù)。特別要交代清楚采用的數(shù)據(jù)來源，以強調(diào)可信度。要用通俗語言，或許還要借助圖表，表達數(shù)學(xué)模型的分析計算結(jié)果，目的讓大家理解所做的工作，分享研究成果。,五. 數(shù)學(xué)建模的靈魂在人文、社科、管理、經(jīng)濟等領(lǐng)域，因為人類所從事的一切生產(chǎn)或社會活動都是有目的的，其行為總是在特定的價值觀念或?qū)徝廊∠蛑湎逻M行的。面對一個決策問題，常有眾多的解決方案，選擇一個可行的甚至是最優(yōu)的方案顯得尤為重要。所以在

31、這些領(lǐng)域，最優(yōu)化思想是數(shù)學(xué)建模的靈魂。,2006A題：出版社的資源配置請你們根據(jù)這些數(shù)據(jù)資料，利用數(shù)學(xué)建模的方法，在信息不足的條件下，提出以量化分析為基礎(chǔ)的資源（書號）配置方法，給出一個明確的分配方案，向出版社提供有益的建議。2008B題：高等教育學(xué)費標(biāo)準(zhǔn)探討請你們根據(jù)中國國情，收集諸如國家生均撥款、培養(yǎng)費用、家庭收入等相關(guān)數(shù)據(jù)，并據(jù)此通過數(shù)學(xué)建模的方法，就幾類學(xué)校或?qū)I(yè)的學(xué)費標(biāo)準(zhǔn)進行定量分析，得出明確、有說服力的結(jié)論。,有一分投