中小學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究

1、華東師大初中教材概率統(tǒng)計(jì)的新安排,華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 李俊,,,概率統(tǒng)計(jì)在人教版新課程中所占課時(shí)數(shù)與百分比,華東師大初中62/414=15%,8年級教過數(shù)據(jù)表示、數(shù)據(jù)分析和概率的學(xué)生百分比1999,,,,,,測試題：用統(tǒng)計(jì)表表達(dá)下列信息,2002年部分地區(qū)錄像制品出版情況如下：北京： VCD種數(shù)為361種，數(shù)量為1476.0萬盒；DVD種數(shù)為32種，數(shù)量為54.4萬盒。上海： VCD種數(shù)為622種，數(shù)量為318.3萬盒；DVD

2、種數(shù)為33種，數(shù)量為20.8萬盒。廣東： VCD種數(shù)為1565種，數(shù)量為3244.7萬盒；DVD種數(shù)為159種，數(shù)量為312.4萬盒。,學(xué)生均未專門學(xué)過統(tǒng)計(jì)表的知識(shí),2002年部分地區(qū)錄像制品出版情況統(tǒng)計(jì)表,,圖表的標(biāo)題；分類并給欄目起名；選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表,利用概率知識(shí)幫助判案,在瑞典的一次庭審中，管理泊車的警察作證說他記錄了一輛車某一邊的兩個(gè)輪胎氣閥的位置。后來等他重新回到該處時(shí)，氣閥還在原來的位置。（這個(gè)警察的做法是把氣閥的位置記

3、成最接近的“鐘點(diǎn)”位置。例如在下圖中，氣閥是在“10:00”和“3:00”。）在這種情況下他開了一張超時(shí)泊車的罰單。但是車主卻聲稱他已經(jīng)在其間用過車子，只不過?；氐搅嗽瓉淼牟窜囄?。,駕車人被判無罪,2004河南省中考題,在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺(tái)階，如下圖所示是其中的甲、乙臺(tái)階路的示意圖。請你用所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)(平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等)回答下列問題：(1) 兩段臺(tái)階路有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?(2) 哪段臺(tái)

4、階路走起來更舒服?為什么?(3)為方便游客行走，需要重新整修上山的小路，對于這兩段臺(tái)階路臺(tái)階數(shù)不變的情況下，請你提出合理的整修建議。,,,三個(gè)問題,（1）求20，21，21，22，22，22，22，23，23.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）9位學(xué)生的鞋號(hào)由小到大是： 20，21，21，22，22，22，22，23，23.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個(gè)指標(biāo)是鞋廠最不感興趣的？哪個(gè)指標(biāo)是鞋廠最感興趣的？（3）某鞋廠在你們

5、全年級中隨機(jī)抽取2個(gè)班級，調(diào)查并記錄每個(gè)學(xué)生的鞋號(hào)，你認(rèn)為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個(gè)指標(biāo)是鞋廠最不感興趣的？哪個(gè)指標(biāo)是鞋廠最感興趣的？鞋廠據(jù)此調(diào)查數(shù)據(jù)組織生產(chǎn)一定與現(xiàn)在你們?nèi)昙墝W(xué)生所需各種尺碼鞋子的數(shù)量一致嗎？,全國標(biāo)準(zhǔn)、上海市標(biāo)準(zhǔn)、美國標(biāo)準(zhǔn),到小學(xué)高年級，3份標(biāo)準(zhǔn)的分化開始顯現(xiàn)。開展統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)圖表并用于交流，這是3份課程標(biāo)準(zhǔn)共同的內(nèi)容。全國課程標(biāo)準(zhǔn)提出了“理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義”，但上海市的標(biāo)準(zhǔn)沒有學(xué)習(xí)中位

6、數(shù)和眾數(shù)的要求，把它移后到初中階段。上述這些是我們都熟悉的安排，但美國標(biāo)準(zhǔn)令我們感到意外。首先，除了學(xué)習(xí)各式統(tǒng)計(jì)圖表之外，它還要求學(xué)生注意觀察數(shù)據(jù)的分布，最小值、最大值分別是什么，數(shù)據(jù)比較集中在哪一段上，對兩組數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行比較。其次，除了要求學(xué)生知道中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)各反映了一組數(shù)據(jù)的什么特征并恰當(dāng)選用外，美國標(biāo)準(zhǔn)在這個(gè)階段把重點(diǎn)放在中位數(shù)上，因?yàn)樗J(rèn)為理解平均數(shù)意義是比較困難的，需要用較長時(shí)間來學(xué)習(xí)。,,,人民教育出版社教材一例,

7、案例77 探索平均數(shù)的意義,假設(shè)我們得到了2個(gè)數(shù)據(jù)。令 為平均數(shù)，證明 a是x與y這2個(gè)數(shù)據(jù)差的平方和達(dá)到最小的實(shí)數(shù)，即對任意的實(shí)數(shù)b有 ≤ 。[說明] 平均數(shù)使誤差平方和達(dá)到最小。,,,,初中階段的統(tǒng)計(jì) 差異更加明顯,初中階段的統(tǒng)計(jì)，在描述數(shù)據(jù)的工具方面，美國課程標(biāo)準(zhǔn)引入了我國初中標(biāo)準(zhǔn)中沒有的莖葉圖、箱線圖、散點(diǎn)圖，并利用這些新的數(shù)據(jù)

8、表示法繼續(xù)學(xué)習(xí)兩個(gè)總體特征的比較、不同樣本同一特征的比較，對同一樣本內(nèi)兩個(gè)變量之間關(guān)系做出猜測，等等。這里有些內(nèi)容如莖葉圖、散點(diǎn)圖、變量之間關(guān)系都是我國高中統(tǒng)計(jì)教學(xué)的內(nèi)容。我國的兩份標(biāo)準(zhǔn)在初中階段要求學(xué)習(xí)加權(quán)平均數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)量，學(xué)習(xí)頻數(shù)分布直方圖。國家標(biāo)準(zhǔn)明確有抽樣調(diào)查的要求，要求學(xué)生體會(huì)抽樣的必要性和樣本估計(jì)總體的思想，但上海市標(biāo)準(zhǔn)雖多次提到統(tǒng)計(jì)的意義和統(tǒng)計(jì)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，卻沒有提抽樣調(diào)查，“總體與樣本和隨機(jī)抽樣方法”等是安排在高

9、中學(xué)習(xí)的，所以教學(xué)重點(diǎn)似乎還是數(shù)據(jù)整理（如中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等概念）與統(tǒng)計(jì)圖表的制作與信息讀取。,,,修改稿案例79 身高比較,比較自己班級與別的班級同學(xué)的身高狀況。[說明]對于兩個(gè)班級學(xué)生身高狀況比較，通?？梢酝ㄟ^平均值來判斷，但有時(shí)候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，如果一個(gè)班同學(xué)之間身高差異很大，而另一個(gè)班同學(xué)之間身高差異很小，即使前一個(gè)班的平均高一些，也不能說這個(gè)班的整體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時(shí)，不僅要看平均值，還需要

10、參考方差。通過數(shù)據(jù)之間的比較，可以引導(dǎo)學(xué)生逐漸深入地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，從而理解數(shù)據(jù)分析的道理。因?yàn)橛?jì)算量比較大，可以利用計(jì)算器或者計(jì)算機(jī)。如果學(xué)生基礎(chǔ)比較好，可以進(jìn)一步要求學(xué)生把身高分段，畫出頻數(shù)直方圖，并引導(dǎo)學(xué)生討論：通過直方圖是否能得到更多的信息？,初中生能夠?qū)W習(xí)散點(diǎn)圖并直觀地判斷變量之間的關(guān)系嗎？,下圖是根據(jù)某一小隊(duì)學(xué)生的身高體重所繪制的統(tǒng)計(jì)圖，觀察圖形，回答下列問題：1、這一組中，身高最高的同學(xué)體重大致為

11、 公斤；最矮的同學(xué)體重大致有 公斤；2、這一組中，身高最高的同學(xué)是體重最重的嗎？ ；身高最矮的同學(xué)是最輕的嗎？ ；3、觀察上圖，請你描述一下這組同學(xué)身高與體重的關(guān)系？,,關(guān)琪的研究結(jié)果,她對上海市區(qū)一所初中的217名沒有學(xué)過統(tǒng)計(jì)初步的6～8年級學(xué)生的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生并沒有因?yàn)橐郧皼]學(xué)過這一類型的統(tǒng)計(jì)圖而感到困難，在一道要求學(xué)生讀取一張散點(diǎn)圖的數(shù)據(jù)信息之后再描述一下這組同學(xué)身高與體

12、重的關(guān)系的測試題中，除6年級普通班的學(xué)生讀取信息正確率在52％，6年級重點(diǎn)班學(xué)生正確率在71％外，其余7、8年級學(xué)生的正確率均在80％以上，但是，這些學(xué)生中的絕大多數(shù)都沒有給出 “身高體重成正比例關(guān)系” 或類似的回答，據(jù)訪談和學(xué)生答卷分析得知，有一部分學(xué)生認(rèn)為要成正比例關(guān)系，那么所有的點(diǎn)就應(yīng)該都在一條直線上，但是因?yàn)榻o出的散點(diǎn)圖不滿足這個(gè)要求，所以不能說身高與體重有什么關(guān)系。,抽樣調(diào)查要不要在初中教,美國：1989年的標(biāo)準(zhǔn)是把抽樣和推斷

13、安排在5－8年級，2000年的標(biāo)準(zhǔn)是安排在6－8年級。全國初中新課程教材實(shí)驗(yàn)情況巴桑卓瑪博士論文中的發(fā)現(xiàn) 她對1847位來自1－8年級共八個(gè)年級的中小學(xué)生進(jìn)行了測試問卷調(diào)查，獲得有效問卷1256份。她的其中一個(gè)研究內(nèi)容是學(xué)過統(tǒng)計(jì)（已進(jìn)入新課程實(shí)驗(yàn)）和沒學(xué)過統(tǒng)計(jì)（尚未進(jìn)入新課程實(shí)驗(yàn)）的學(xué)生對樣本和抽樣方法的認(rèn)識(shí)情況，具體地，她考察了學(xué)生如何直觀地認(rèn)識(shí)樣本大小、他們怎么選擇樣本和他們?nèi)绾闻袛鄻颖镜暮脡倪@三個(gè)方面。,她的發(fā)現(xiàn)是,樣本知識(shí)

14、需要教，否則學(xué)生不理解。學(xué)過和沒有學(xué)過統(tǒng)計(jì)的1～2年級的學(xué)生基本不理解樣本，他們認(rèn)為調(diào)查就要問所有人，不理解總體與樣本的關(guān)系。學(xué)過和沒有學(xué)過統(tǒng)計(jì)的1～4年級的學(xué)生對樣本的理解水平?jīng)]有統(tǒng)計(jì)意義的差異。學(xué)生比較容易認(rèn)識(shí)樣本要具有代表性，但不太容易認(rèn)識(shí)樣本具有隨機(jī)性的重要。學(xué)過統(tǒng)計(jì)的4～8年級的學(xué)生認(rèn)識(shí)到樣本隨機(jī)性的學(xué)生比例明顯高于沒有學(xué)過統(tǒng)計(jì)的同齡學(xué)生，但在此比例最高的學(xué)過統(tǒng)計(jì)的8年級學(xué)生中，也只有16％，在沒有學(xué)過統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中各年級均不

15、超過2％。非隨機(jī)的分層抽樣思想從3年級起明顯增多，在沒學(xué)過統(tǒng)計(jì)的初中生中大概占50%左右，在學(xué)過統(tǒng)計(jì)的初中生中，這個(gè)比例大約是 80%。,具有隨機(jī)抽樣思想,具有分層抽樣思想（非隨機(jī)）,概率教學(xué)要求,美國標(biāo)準(zhǔn),與我國國家課程標(biāo)準(zhǔn)一樣，概率教學(xué)持續(xù)的時(shí)間是所有學(xué)段。在其2000年的那份標(biāo)準(zhǔn)中，它要求學(xué)前期至二年級，討論與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)相關(guān)的可能與不可能的事件。在三至五年級，對事件可能或不太可能發(fā)生進(jìn)行描述，并用肯定、等可能和不可能等討論事件發(fā)生

16、的可能程度；預(yù)測簡單實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率值并驗(yàn)證預(yù)測的結(jié)果；理解一個(gè)事件發(fā)生的概率可以用0～1來表示。在六至八年級，要求理解并運(yùn)用適合的術(shù)語來描述互補(bǔ)事件（即對立事件）和互斥事件（即不相容事件）；用比例及對概率的基本理解來對試驗(yàn)和模擬結(jié)果做出推測；使用有組織的列表、樹形圖和面積模型計(jì)算簡單的復(fù)合事件的概率。與我國國家標(biāo)準(zhǔn)要求相比，內(nèi)容大體一樣，對概率教學(xué)的安排呈現(xiàn)以下三個(gè)層次：體驗(yàn)不確定現(xiàn)象、定性描述可能性、定量描述概率，只是互補(bǔ)事件和互斥事

17、件這兩個(gè)概念我們安排在高中教。,概率教學(xué)有沒有必要這么長,有教師反映：小學(xué)低年級、高年級學(xué)生在拋硬幣，初中生還在拋硬幣，師生早就沒興趣了 可以在小學(xué)高年級到初中這段時(shí)間學(xué)完，整合 巴桑卓瑪發(fā)現(xiàn)：學(xué)過和沒有學(xué)過統(tǒng)計(jì)的一至八年級的學(xué)生對根據(jù)已有的生活經(jīng)驗(yàn)區(qū)分確定性和不確定性的認(rèn)識(shí)水平?jīng)]有差異，而且所有年級的學(xué)生理解的比例達(dá)到 95%-100%。 全部集中安排在初中好不好？確定性數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的影響；教育應(yīng)該促進(jìn)發(fā)展；需要充裕的教學(xué)時(shí)間

18、,2003年和2005年分別對數(shù)學(xué)課程的實(shí)施情況和有關(guān)數(shù)學(xué)課程改革問題進(jìn)行問卷調(diào)查。 2005年調(diào)查： 72.4％的教師認(rèn)同《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》，認(rèn)同程度城鄉(xiāng)沒有差異，而中小學(xué)之間存在差異，小學(xué)教師要比中學(xué)教師的認(rèn)同程度高 51.4%的教師認(rèn)為新教材內(nèi)容偏難?！敖滩闹杏械念}綜合性太強(qiáng)，還有的問題太多、繁瑣，學(xué)生不能達(dá)到所要求的能力?！薄坝行﹥?nèi)容過于超前，超過了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)?！薄皵?shù)學(xué)教材對知識(shí)的要求，難度高于《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》?！?39.5%