關于拓撲空間連通性的研究【文獻綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學與應用數(shù)學</b></p><p>　　關于拓撲空間連通性的研究</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　拓撲學發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個分支。

2、一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫做代數(shù)拓撲?，F(xiàn)在，這兩個分支又有統(tǒng)一的趨勢。</p><p>　　拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數(shù)學分支中都有廣泛的應用。</p><p>　　本文主要著重闡述了L-拓撲空間的連通性這一新內容。到目前為止，L-拓撲學已成為較為成熟且完整的學科(國內外已有

3、這方面的多部著作)。</p><p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　一般拓撲學從19世紀成為一個獨立的科學分支至今已經(jīng)歷了一百多年的發(fā)展歷史．雖然它的獨立與發(fā)展相對于其他一些古老的數(shù)學學科如分析學、代數(shù)學，歐氏幾何學和數(shù)論要晚了許多，但經(jīng)過一百多年，特別是20世紀40年代到70年代的蓬勃發(fā)展，一般拓撲學已日趨成熟與完善(參見[1]及其參考文獻)

4、．</p><p>　　“什么是拓撲學？”這是許多初學者都會提到的問題。拓撲學是一種幾何學，它是研究幾何圖形的。但是拓撲學所研究的并不是大家最熟悉的普通的幾何性質，而是圖形的一種特殊性質，即所謂“拓撲性質”。盡管拓撲性質是圖形的一種很基本的性質，它也是具有很強的幾何直觀，卻很難用簡單的語言來準確地描述，它的確切定義可以用抽象的語言來描述，也可以從幾個例子來直觀地反映。最具特色的問題就是一筆畫問題、七橋問題、地圖著

5、色問題及Euler多面體定理。這些問題定理所涉及到圖形在整體結構上的特性，就是“拓撲性質”。它們與幾何圖形的大小、形狀，以及所包含線段的曲直等等都無關，也就不能用普通的幾何方法來處理，需要有一種新的幾何學來研究它們，這個學科就是拓撲學，也有人形象地稱它為橡皮幾何學，因為它研究的性質在圖形做彈性形變時是不會改變的。而我們把這種變形稱為圖形的“拓撲變換”,它也可以用集合和映射的語言來確切的描述。</p><p>　　

6、由于許多數(shù)學分支的活動范圍早已突破了歐氏空間的限制，甚至也超出了度量空間的領域，拓撲學作為這些數(shù)學分支的基礎，必須研究更加一般的空間?，F(xiàn)在就要著一種能用來刻畫拓撲性質的新的空間結構，以替代歐氏結構和度量結構。而這種新結構就是所謂的拓撲結構。</p><p>　　之前我們已經(jīng)直觀反映了“拓撲性質”，現(xiàn)在我們就用抽象語言來具體描述它的幾個重要的性質：分離性、可數(shù)性、緊致性和連通性。前面兩種性質也可以看作拓撲公理的補充

7、；后兩種性質在分析學中已經(jīng)出現(xiàn)過，它們有很強的幾何直觀性，是拓撲學中最基礎的性質。</p><p>　　拓撲公理只是概括了度量拓撲最基本性質，而不是全部性質，有時，這種不足會帶來不方便。分離性和可數(shù)性常作為附加性質，彌補公理的不足，因此它們本身也稱為公理。有兩個可數(shù)公理和一系列分離公理，文獻[13]主要介紹了兩個可數(shù)公理和四個較常見的分離公理：。</p><p>　　在分析學中緊致性（在那

8、里它等價于列緊性）早就顯示了它的威力。有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界的，達到它的最大、最小值，并且是一致連續(xù)的。在證明這些結論時都用到了同一事實：有界閉區(qū)間上的每個序列有收斂的子序列。這種性質后來稱為“列緊性”（自列緊），它可以一字不改地推廣到一般拓撲空間中。</p><p>　　普通的幾何中圖形的“連通”性是一個非常直觀的概念，它幾乎必須給出數(shù)學定義。譬如，誰都知道，在圓錐曲線中，橢圓和拋物線是連通的，而雙曲線是

9、不連通的。然而，對于復雜一些的圖形，單憑直觀就不行了，必須深化認識?，F(xiàn)在，把連通性作為拓撲概念給出，必須深化認識?，F(xiàn)在，把連通性作為拓撲概念給出嚴格的定義。直觀上的連通，可以有兩個含義：其一是圖形不能分割稱互不“粘連”的兩部分；其二是圖形上任何兩點可以用圖形上的線連結。在拓撲學中，這兩種含義分別抽象稱“連通性”和“道路連通性”兩個概念。</p><p>　　從拓撲上解釋“空間X分割成互不粘連的兩部分“A和B”，就

10、是說，A和B是互不相交的非空子集，并且A和B都不包含對方的聚點，也就是說A和B是不相交的閉集（從而也是開集）。于是得到連通性的定義：</p><p>　　拓撲空間X稱為連通的，如果它不能分解為兩個非空不相交開集的并。顯然，連通與下面幾種說法是等價的：</p><p>　　X不能分解為兩個非空不相交閉集的并；</p><p>　　X沒有既開又閉的非空真子集；</

11、p><p>　　X的既開又閉的子集只有X和。（文獻[13]是這樣定義的）</p><p>　　其他文獻在定義連通空間時會引入隔離的概念。如文獻[14]：</p><p>　　設A和B是拓撲空間X中的兩個子集。如果，則稱子集A和B是隔離的。從而連通空間可以如下定義：</p><p>　　設X是一個拓撲空間，如果X中有兩個非空的隔離子集A和B使得，則

12、稱X是一個不連通空間；否則，則稱X是一個連通空間。它也有如下的等價條件：</p><p>　　X中存在著兩個非空的閉子集A和B使得成立；</p><p>　　X中存在著兩個非空的開子集A和B使得成立；</p><p>　　X中存在著一個既開又閉的非空真子集。</p><p>　　不難發(fā)現(xiàn)，不管怎么定義，它們所要最終闡述的事都是同一件，只是他們

13、用了不同語言來涵蓋這件事而已。</p><p>　　較之于連通空間的概念，道路連通空間這個概念似乎覺得更符合我們的直覺因而易于理解些，首先，“道路”定義如下:</p><p>　　設X是一個拓撲空間,從單位閉區(qū)間到X中的每一個連續(xù)映射叫做X中的一條道路，并且此時分別成為道路的起點和終點。當時，則稱是x到y(tǒng)的一條道路。起點和終點相同的道路成為閉路，并且這時，它的起點（也就是它的終點）稱為閉路

14、的基點。</p><p>　　定義完“道路”我們就可以這樣定義道路連通空間：</p><p>　　設X是一個拓撲空間,如果對于任何x.y.存在這X的一條從x到y(tǒng)的道路（或曲線），我們則稱X是一個道路連通空間。</p><p>　　以上便是幾個重要的拓撲性質。然而在文獻[16]的最后一章節(jié)中，介紹從序論角度研究拓撲的一些基本方法和結果對于一個拓撲空間X，它的拓撲關于幾

15、何的包含序是完備格。人們可以通過對完備格的研究來獲得對拓撲空間的認識，從連續(xù)格與局部緊性之間的相互刻畫，將看到這一方法的有效性。(參見[16]及其參考文獻)</p><p>　　另一方面，從序結構出發(fā)，我們可構造若干有趣的拓撲空間，并應用序論的技巧和成果對這些空間的拓撲性進行研究，獲得拓撲學中有普遍意義的成果。 </p><p>　　格上拓撲學將拓撲結構、序結構融為一體，它有兩個比較成熟的

16、研究分支：</p><p>　　Local理論和L一拓撲學．Local理論的特點是無點式的，其論證常常是構造性的而不是訴諸于選擇公里，具有很濃的構造性色彩．工一拓撲空間的研究從1968年c．L．Chang[2]提出Fuzzy拓撲空間概念的第一篇論文算起，至今已有30多年．在這30多年中，它的研究已從初始的模仿性研究逐漸走上了創(chuàng)新的道路，層次結構的特點使它具有了不同于一般拓撲學的特點、風格，與完備格代數(shù)結構的緊密聯(lián)

17、系又賦予了它以新的生命力．</p><p>　　在L-拓撲學發(fā)展的初期，一部分學者沿用無點式方法，也曾獲得過許多漂亮而有創(chuàng)造性的結果，其中以C．K．Wong[3]的局部化及B．button[4，5]一致化研究尤為突出．但是，由于其研究工作不涉及點，不可避免的會有許多局限性．如對局部性質的討論、對Moore-Smith收斂理論的建立以及嵌入理論的研究等都難以展開．</p><p>　　事實上

18、，在中自然存在一種“點”，即所謂的fuzzy點．因此在L-拓撲</p><p>　　學發(fā)展的初期，許多學者都力圖沿著有點式方向工作，他們沿用一般拓撲學中的</p><p>　　鄰域方法來研究L-拓撲，但在相當長的時間內無大的進展．1977年劉應明院士</p><p>　　[15]在分析了C．K．Wong的Fuzzy點及其鄰域系理論的弊端以后，修改了Fuzzy點及其對

19、一個Fuzzy集的從屬關系，首次打破傳統(tǒng)的屬于關系和鄰域方法，引入了“重于”這一新的Fuzzy點和Fuzzy集之間的從屬關系，這樣的“重于”關系滿足一條基本原則一擇一原則[7]，相應地，引入了“重域“的概念，從而為L一拓撲學的點式處理打開了大門．隨后王國俊教授引入了。遠域”的概念，沿著這一方向，有點式L-拓撲學的研究取得了很大進展，獲得了豐富多彩的成果．到目前為止，L-拓撲學已成為較為成熟且完整的學科(國內外已有這方面的多部著作，參見文

20、獻[8,9，10，11]等)．</p><p>　　文獻[12]以拓撲空間的局部緊性、L-拓撲空間的局部良緊性以及連通性為基礎，研究拓撲空間的局部仿緊性、L-拓撲空間的局部仿緊性以及連通性．結構和主要內容安排如下：</p><p>　　第一章作為預備部分，給出了全文將要用到的一些概念、符號和結果．</p><p>　　第二章給出了拓撲空間的三種局部仿緊性的定義，證明

21、了這三種局部仿緊性在正則空間范疇中是等價的；分別討論了它們對開、閉子空間的遺傳性、在連續(xù)的既開又閉映射下的不變性以及可和性等；證明了這三種局部仿緊性均可加強分離性．</p><p>　　第三章給出了L-拓撲空間的六種局部仿緊性的定義，研究了這六種局部仿緊性之間的蘊涵關系，證明了本文第二章所定義的拓撲空間的局部仿緊性的一些重要結果對局部仿緊L-拓撲空間仍成立，并將局部良緊工一拓撲空間的某些好的性質推廣到相應的局部仿

22、緊L-拓撲空間．結果表明前四種局部仿緊性既是閉遺傳的又是開遺傳的，后兩種局部仿緊性是閉遺傳的．這些局部仿緊性在某種序同態(tài)下是保持不變的．</p><p>　　第四章研究了L-拓撲空間的連通性．定義了L-拓撲空間的連通性和連通分支的概念，討論了它們的一些性質，給出連通的一些等價刻畫，證明了連通L-拓撲空間是比連通L-拓撲空間更廣泛的一類空間．在F格L的最大元l是分子時，得到了連通性是可積性質的結論．作為特例，I-單

23、位區(qū)間和I-實直線是連通的．</p><p>　　事實上，文獻[12]首先回顧了一般拓撲、L-拓撲的基本概念，定義了拓撲空間中的三種局部仿緊性，證明了這三種局部仿緊性在正則空間范疇中是等價的；分別討論了它們對開、閉子空間的遺傳性、在連續(xù)的既開又閉映射下的不變性以及可和性等；證明了這三種局部仿緊性均可加強分離性．</p><p>　　其次給出了L-拓撲空間的六種局部仿緊性的定義，研究了這六種

24、局部仿緊性之間的蘊涵關系，證明了本文第二章所定義的拓撲空間的局部仿緊性的一些重要結果對局部仿緊L-拓撲空間仍成立，并將局部良緊L-拓撲空間的某些好的性質推廣到相應的局部仿緊L-拓撲空間．結果表明前四種局部仿緊性既是閉遺傳的又是開遺傳的，后兩種局部仿緊性是閉遺傳的．這些局部仿緊性在某種序同</p><p>　　態(tài)下是保持不變的．最后研究了L-拓撲空間的連通性．定義了工一拓撲空間的連通性和L-連通分支的概念，討論了它

25、們的一些性質，給出連通的一些等價刻畫，證明了連通L-拓撲空間是比連通L-拓撲空間更廣泛的一類空間．在F格L的最大元1是分子時，得到了連通性是可積性質的結論．</p><p>　　不難發(fā)現(xiàn)拓撲與序結構的相互結合，不僅為研究拓撲學提供了了新的角度，同時也加強了拓撲學與其他學科的聯(lián)系，拓廣了拓撲學應用的途徑。</p><p><b>　　三、總結部分</b></p&g

26、t;<p>　　本文主要介紹了拓撲空間的相關知識，重點闡述拓撲空間一種重要性質：連通性。再由序結構出發(fā)，構造出L-拓撲空間。討論L-拓撲空間的連通性的相關知識。到目前為止，L-拓撲學已成為較為成熟且完整的學科(國內外已有這方面的多部著作。</p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1]Rysard Engelking．Gen

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