函數(shù)的凸性及應(yīng)用【信息科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)】【畢業(yè)設(shè)計(jì)+文獻(xiàn)綜述+開(kāi)題報(bào)告】

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p><b>　?。ā?0 　屆）</b></p><p><b>　　函數(shù)的凸性及應(yīng)用</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：凸函數(shù)是一類(lèi)非常重要的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的凸性，不

3、僅可以科學(xué)、準(zhǔn)確的描述函數(shù)的圖像，而且也可以用來(lái)證明一些不等式，同時(shí)，凸函數(shù)的研究結(jié)果也在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。本文首先介紹了凸函數(shù)的定義；接著介紹了凸函數(shù)的幾個(gè)定理；然后介紹了凸函數(shù)的性質(zhì)；最后進(jìn)一步介紹了凸函數(shù)的應(yīng)用。本文主要集中考慮了凸函數(shù)在下面幾方面中的應(yīng)用：凸函數(shù)在證明Hadamard不等式中的應(yīng)用，凸函數(shù)在證明Jensen不等式中的應(yīng)用，凸函數(shù)在一些分析不等式中的應(yīng)用等。</p><p>　　關(guān)鍵

4、詞：凸函數(shù)；連續(xù)；等價(jià)描述；不等式</p><p>　　Convex Function and Its Application</p><p>　　Abstract： Convex function is a kind of very important functions，when considering the convexity of function, it can not onl

5、y describe the image of function much more scientifically and accurately, but also can be made use of to prove inequalities. At present convex function has a widely application in many areas. In this paper, we firstly in

6、troduce the definition of convex function, and take an overview of the property of Convex function, based on properties of convex function, we then further pr</p><p>　　Key words: Convex function; Continuous;

7、 Equivalent description; Inequality</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1 問(wèn)題的背景及研究意義1</p><p>　　2 凸函數(shù)的定義及性質(zhì)3</p>&

8、lt;p>　　2.1 凸函數(shù)的定義3</p><p>　　2.2 相關(guān)的幾個(gè)定理3</p><p>　　2.3 凸函數(shù)的性質(zhì)7</p><p>　　3 凸函數(shù)的應(yīng)用13</p><p>　　3.1凸函數(shù)在證明初等不等式中的應(yīng)用13</p><p>　　3.2凸函數(shù)在證明函數(shù)不等式中的應(yīng)用14<

9、/p><p>　　3.3凸函數(shù)在證明積分不等式中的應(yīng)用14</p><p>　　3.4凸函數(shù)在證明Jensen不等式中的應(yīng)用15</p><p>　　3.5凸函數(shù)在證明Hadamard不等式中的應(yīng)用16</p><p><b>　　4 結(jié)論18</b></p><p><b>　　

10、致 謝19</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)20</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 問(wèn)題的背景及研究意義</p><p>　　在數(shù)學(xué)思想方法中，函數(shù)思想是很重要的一種思想方法，其精髓在于利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)討論的問(wèn)題進(jìn)

11、行推理和論證，進(jìn)而尋求解決問(wèn)題的途徑。重要的數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說(shuō)貫穿古今。凸函數(shù)是一類(lèi)性質(zhì)特殊的函數(shù)，它在證明比較復(fù)雜的不等式方面有著重大作用，本文將對(duì)凸函數(shù)的性質(zhì)在比較經(jīng)典的不等式證明中的簡(jiǎn)單應(yīng)用進(jìn)行初步討論。</p><p>　　1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努里通過(guò)結(jié)合以前科學(xué)家的成果才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)進(jìn)行了明確的定義。18世紀(jì)中葉

12、歐拉給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號(hào)。歐拉給出的定義是：一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。1822年傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線(xiàn)表示，也可用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新的層次。1823年柯西從定義變量開(kāi)始給出了函數(shù)的定義。1837年狄利克雷拓廣了函

13、數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的值，都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么叫做的函數(shù)?！钡依死椎暮瘮?shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴(lài)關(guān)系的描述，簡(jiǎn)明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無(wú)條件地接受。至此，我們已可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義。</p><p>　　在函數(shù)概念的定義經(jīng)過(guò)近二百年的錘煉、變革后，1905年丹麥數(shù)學(xué)家Jensen首次給出了凸函數(shù)的定

14、義，開(kāi)創(chuàng)了凸函數(shù)研究的先河，經(jīng)過(guò)近百年努力，凸函數(shù)的研究在各個(gè)方面正得到長(zhǎng)足的發(fā)展，其中，凸函數(shù)的判據(jù)研究已接近完善，在現(xiàn)代學(xué)習(xí)和生活中的重要性已經(jīng)不斷的凸顯出來(lái)。凸分析是近年來(lái)凹凸函數(shù)發(fā)展起來(lái)的一門(mén)應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)支，尤其是在最優(yōu)化理論方面的應(yīng)用更為突出，人們對(duì)凸分析的自身理論發(fā)展也進(jìn)行了廣泛的深入研究，使得凸函數(shù)的性質(zhì)也得到了較好的發(fā)展。在凸規(guī)劃理論、尤其是非線(xiàn)性最優(yōu)化中，函數(shù)的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年來(lái)，研究函數(shù)各

15、種凸性的文獻(xiàn)越來(lái)越多。</p><p>　　凸函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)。對(duì)函數(shù)凹凸性的研究，在數(shù)學(xué)的多個(gè)分支都有用處。特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導(dǎo)方面，凸函數(shù)都有著十分重要的作用。同樣凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念，它涉及了許多數(shù)學(xué)命題的討論證明和應(yīng)用，而且在現(xiàn)代優(yōu)化學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、管理學(xué)、和工程測(cè)繪學(xué)等多個(gè)學(xué)科有著重要的意義。</p><p>　　函數(shù)凸性的應(yīng)用顯著地體現(xiàn)在求最值、不等

16、式的證明上。不等式的證明方法很多，技巧性強(qiáng)，函數(shù)凸性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體形態(tài)，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的構(gòu)造凸函數(shù)，可以簡(jiǎn)單輕快得證明不等式。凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景,一些常見(jiàn)的不等式都可以從函數(shù)的凸性中導(dǎo)出。在不等式的研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮的作用是無(wú)可替代的。與凸函數(shù)有關(guān)的不等式是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論的重要工具，尤其在不等式的證明中發(fā)揮的作用是無(wú)可替代的，其中Jensen不等式與Hadamard不等式更是起到了重要的作用

17、。Jensen不等式通常用來(lái)證明有限不等式，它是將無(wú)窮項(xiàng)求和與積分聯(lián)系起來(lái)的重要橋梁。利用Hadamard不等式可以對(duì)兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)加細(xì)。</p><p>　　2 凸函數(shù)的定義及性質(zhì)</p><p>　　2.1 凸函數(shù)的定義</p><p>　　通過(guò)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，對(duì)于函數(shù)和的圖像，我們很容易看出它們之間的不同點(diǎn)：曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩

18、點(diǎn)連線(xiàn)的下方；而曲線(xiàn)則相反，在任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線(xiàn)的上方。通過(guò)這兩個(gè)函數(shù)，我們把前一種特性的曲線(xiàn)稱(chēng)為凸的，后一種為凹的。對(duì)于凸的我們稱(chēng)其函數(shù)為凸函數(shù)。</p><p>　　數(shù)學(xué)分析[2]給出了凸函數(shù)的基本定義：設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)上的任意兩點(diǎn)，和任意實(shí)數(shù)總有,則稱(chēng)為上的凸函數(shù)。</p><p>　　當(dāng)上面的不等式變?yōu)闀r(shí)，其余條件不變，該函數(shù)稱(chēng)為嚴(yán)格凸函數(shù)。</p&g

19、t;<p>　　江芹,陳文略[3]給出了區(qū)間上嚴(yán)格凸函數(shù)的判定方法。</p><p>　　判定方法：1、設(shè)為區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)，在上嚴(yán)格遞增，則在區(qū)間上是嚴(yán)格凸函數(shù)。反之，不成立；2、設(shè)為區(qū)間上二階可導(dǎo)函數(shù),在上.則在區(qū)間上是嚴(yán)格凸函數(shù)。</p><p>　　2.2 相關(guān)的幾個(gè)定理</p><p>　　古小敏[4]介紹了幾種判別凸函數(shù)的定理，并給出了幾個(gè)

20、結(jié)論的證明。</p><p>　　定理1：且；，則為凸函數(shù)。</p><p>　　定理2：若在內(nèi)存在單增函數(shù)，有，則為凸函數(shù)。</p><p>　　定理3：若在內(nèi)可導(dǎo)，；有，則為凸函數(shù)。</p><p>　　定理4：為區(qū)間上凸函數(shù)的充要條件：函數(shù)為上的凸函數(shù)，。</p><p>　　定理5：若在上連續(xù)，且，有</

21、p><p><b>　　，則為凸函數(shù)。</b></p><p>　　定理6：在內(nèi)二次可導(dǎo)，，則為凸函數(shù)。</p><p>　　定理7：若在內(nèi)可導(dǎo)，且單調(diào)遞增，則為凸函數(shù)。</p><p>　　相關(guān)的幾個(gè)主要結(jié)論及其證明：</p><p>　　結(jié)論1[5]：若在區(qū)間上可導(dǎo)，則定理。</p>

22、<p>　　證明：若在內(nèi)存在單增函數(shù)，有：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　故對(duì)于不妨設(shè)，有：</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　將式（1）兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得。</p><

23、;p>　?。?）-（2），得：</p><p>　?。?）因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，所以，式（2）可化為：</p><p>　　即 </p><p>　　結(jié)論2：若在區(qū)間上連續(xù)，則定理。</p><p>　　證明：因?yàn)闉樯系耐购瘮?shù)，故：</p><p><b>　　特別地，當(dāng)時(shí)，有。<

24、/b></p><p><b>　　先證不等式的左邊：</b></p><p>　　由實(shí)數(shù)的性質(zhì)知在上可確定一個(gè)閉區(qū)間，若</p><p>　　，則關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，而在區(qū)間上連續(xù)，所以積分存在，。所以</p><p>　　即 </p><p>　　下面

25、證不等式的右邊：</p><p><b>　　作變換，則</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，時(shí)，。</b></p><p>　　即 </p><p>　　故 。</p><p>　　結(jié)論3：若在內(nèi)二次可導(dǎo)，

26、則定理。</p><p><b>　　證明：因且，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令則，故，</b></p><p><b>　　即。因?yàn)椋?lt;/b></p><p>　??；又因?yàn)樵?/p>

27、上可導(dǎo)，則在上連續(xù)，故由極限的性質(zhì)可知：，即。因?yàn)榫哂卸A導(dǎo)數(shù)，所以，，即都有，設(shè)為上任一固定點(diǎn)，則，所以。</p><p>　　結(jié)論4：若在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則定理。</p><p>　　證明：因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且。</p><p><b>　　所以可得單調(diào)遞增。</b></p><p><b>　　可得，<

28、/b></p><p>　　由定義6可得，為凸函數(shù)。</p><p><b>　　結(jié)論5：由定理：</b></p><p>　　證明：因?yàn)樵趦?nèi)可導(dǎo)，且單調(diào)遞增，由實(shí)數(shù)的性質(zhì)知在上可確定兩個(gè)閉區(qū)間，，曲線(xiàn)在的切線(xiàn)方程為。</p><p>　　故橫坐標(biāo)為的曲線(xiàn)的縱坐標(biāo)與切線(xiàn)坐標(biāo)之差為：</p><p

29、><b>　?。?）</b></p><p>　　而在內(nèi)可導(dǎo)，而，故在上連續(xù)，在上可導(dǎo)。所以在上滿(mǎn)足拉格朗日定理，即在</p><p>　　由式（4），當(dāng) 時(shí)，有：</p><p><b>　　（5）</b></p><p>　　同理在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理。即</p><

30、p>　　由式（4），當(dāng) 時(shí)，有：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　由式（5）得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由式（6）得</b></p><p

31、><b>　　，</b></p><p>　　所以 </p><p>　　通過(guò)凸函數(shù)等價(jià)定義相互之間的推導(dǎo)與了解，我們能更加好的了解凸函數(shù)，并運(yùn)用其定義，更好的來(lái)處理一些較復(fù)雜的問(wèn)題。</p><p>　　2.3 凸函數(shù)的性質(zhì)</p><p>　　通過(guò)以上凸函數(shù)定義的介

32、紹，我們可以進(jìn)一步推出凸函數(shù)的性質(zhì)，合理的運(yùn)用凸函數(shù)的定義和性質(zhì)，才能更加方便的進(jìn)行求解不等式，使不等式的解題過(guò)程變得更加簡(jiǎn)便。</p><p>　　性質(zhì)1[6]：若為上的凸函數(shù)，則對(duì)任意</p><p><b>　　有，</b></p><p>　　該不等式稱(chēng)為Jensen不等式，該性質(zhì)是凸函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，也是定義的一般情況。可以說(shuō)，凸函

33、數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用很大程度上是由Jensen不等式來(lái)體現(xiàn)的，因?yàn)槊總€(gè)凸函數(shù)都有一個(gè)Jensen不等式，因而它在一些不等式證明中有著廣泛的應(yīng)用。利用它我們可以推出常用的一些重要公式，為我們證明不等式開(kāi)辟一條新路。</p><p>　　性質(zhì)2[7]：凸函數(shù)與正的常數(shù)相乘仍為凸函數(shù)（若為區(qū)間上的凸函數(shù)，則對(duì)于，有也是上的凸函數(shù)）。</p><p>　　證明：由于是區(qū)間上的凸函數(shù)，則和有。&l

34、t;/p><p><b>　　上式兩端均乘以</b></p><p>　　由凸函數(shù)的定義可知是區(qū)間上的凸函數(shù)。</p><p>　　性質(zhì)3：兩個(gè)或幾個(gè)凸函數(shù)之和仍為凸函數(shù)。（若與均為區(qū)間上的凸函數(shù)，則也是區(qū)間上的凸函數(shù)）。</p><p>　　證明：和，因?yàn)榕c均為區(qū)間上的凸函數(shù)，</p><p>　　

35、所以 </p><p><b>　　兩式相加，便得</b></p><p>　　由凸函數(shù)的定義知也是區(qū)間上的凸函數(shù)。</p><p>　　性質(zhì)4：若是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，也是凸函數(shù)。則復(fù)合函數(shù)也是凸函數(shù)。</p><p>　　證明：因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的凸函數(shù)和也是凸函數(shù)</p><p&

36、gt;<b>　　故，，</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　顯然</b></p><p><b>　　所以是凸函數(shù)。</b></p><p>　　性質(zhì)5[8]：設(shè)與都是上的非負(fù)單調(diào)遞增的凸函數(shù)，則也是其上的凸函數(shù)。

37、</p><p>　　證明：對(duì)且和，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增。</p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　因?yàn)榕c為上的凸函數(shù)</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　而，將上面兩個(gè)不等式相乘，可得</

38、p><p>　　由凸函數(shù)的定義知是上的凸函數(shù)。</p><p>　　注：1. ，非負(fù)不能少。</p><p>　　例如，，均為凸函數(shù)，但是，顯然不是凸函數(shù)，原因是為負(fù)。</p><p>　　2. ，單調(diào)遞增不能少。</p><p>　　例如，在是非負(fù)凸函數(shù)，</p><p>　　但是，不是上的凸函數(shù)

39、，原因是單調(diào)遞減的。</p><p>　　性質(zhì)6：若是在上二階可導(dǎo)的凸函數(shù)，則對(duì)內(nèi)任意的點(diǎn)，</p><p><b>　　有。</b></p><p>　　證明：由性質(zhì)可知令將函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)有，在上式中分別令得</p><p><b>　　因?yàn)闀r(shí)，有</b></p><p>&

40、lt;b>　　所以，故</b></p><p>　　性質(zhì) 7：林銀河[10]論述了凸函數(shù)的等價(jià)性質(zhì)：若在區(qū)間上有定義，若在上為凸函數(shù)；可得以下2個(gè)命題等價(jià)：</p><p><b>　　命題1：，，有；</b></p><p>　　命題2：，且不全為零，有</p><p><b>　　。<

41、;/b></p><p>　　證明：命題1和命題2是顯然等價(jià)的。</p><p>　　現(xiàn)在先用歸納法來(lái)證明命題1成立：</p><p>　　當(dāng)時(shí)，由凸函數(shù)的定義可證得命題1成立；</p><p><b>　　設(shè)時(shí)，命題1成立。</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，&l

42、t;/b></p><p><b>　　由此當(dāng)時(shí)也成立，</b></p><p>　　這就證得對(duì)任何自然數(shù)，為凸函數(shù)，命題1成立。</p><p>　　性質(zhì) 8：凸函數(shù)的微積分性質(zhì)</p><p>　　劉鴻基，張志宏[11]指出凸函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)，有著較好的分析性質(zhì)，而關(guān)于凸函數(shù)，一般教材大都從幾何意義方面引出

43、定義，描述為：凸曲線(xiàn)弧段上任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)而成的弦，總是位于曲線(xiàn)弧段的下方；或者，當(dāng)曲線(xiàn)各點(diǎn)處存在切線(xiàn)時(shí)，凸曲線(xiàn)弧全部位于曲線(xiàn)上各點(diǎn)處切線(xiàn)的下方。前者往往作為定義使用，后者是凸函數(shù)的充分必要條件，也可以作為定義作用。劉鴻基，張志宏[11]舉證了凸函數(shù)的4個(gè)等價(jià)性定義，并對(duì)凸函數(shù)的微積分性質(zhì)予以討論，得到兩個(gè)重要的微積分性質(zhì)：</p><p>　　1.設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在上是凸函數(shù)的充分必要條件是：對(duì)任意點(diǎn)，恒有。&l

44、t;/p><p>　　2.設(shè)是上的凸函數(shù)，則</p><p>　　性質(zhì)2分析：因?yàn)槭情]區(qū)間上的凸函數(shù)，因而是連續(xù)的，也是可積的。</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，，</b></p><p>　　因此有 。</p><p>　　根據(jù)定義，可得 </p>

45、;<p>　　即 。</p><p>　　根據(jù)定積分性質(zhì) 對(duì)于，</p><p>　　令 </p><p>　　則 </p><p>　　所以 </p>&

46、lt;p>　　再者，若令，則，于是</p><p>　　綜上所述，結(jié)論成立。</p><p>　　凸函數(shù)除了以上幾種性質(zhì)外還存在著另外的性質(zhì)，例如連續(xù)性：函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)性態(tài)的一項(xiàng)基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒(méi)有對(duì)函數(shù)作出連續(xù)性及可導(dǎo)性假設(shè)，Jensen意義下凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)，從凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系。那么我

47、們就會(huì)提出這樣的問(wèn)題：當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足何種條件時(shí)，是區(qū)間上的凸函數(shù)；當(dāng)凸函數(shù)滿(mǎn)足何種條件時(shí)，是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)；連續(xù)凸函數(shù)在區(qū)間上具有何種性質(zhì)？</p><p>　　例如函數(shù)，我們?nèi)菀鬃C明在上是凸函數(shù)，但在上不連續(xù)。存在函數(shù)，可以得出函數(shù)在上是連續(xù)的，但是函數(shù)在上不是凸函數(shù)。</p><p>　　上面這個(gè)例題說(shuō)明凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)。</p>&

48、lt;p>　　通過(guò)對(duì)凸函數(shù)定義和性質(zhì)的了解，是為了接下去能更好的運(yùn)用到凸函數(shù)的應(yīng)用之中，利用凸函數(shù)的定義和性質(zhì)證明不等式時(shí)，關(guān)鍵是如何巧妙地構(gòu)造出能夠解決問(wèn)題的凸函數(shù)。并且在解題過(guò)程中靈活的運(yùn)用凸函數(shù)進(jìn)行求解，使一些較難的問(wèn)題得到很好的解決。</p><p><b>　　3 凸函數(shù)的應(yīng)用</b></p><p>　　凸性是一種重要的幾何性質(zhì)，凸函數(shù)是一種性質(zhì)特

49、殊的函數(shù)。凸集和凸函數(shù)在泛函分析，最優(yōu)化理論，數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。凸函數(shù)也是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本內(nèi)容，他在證明比較復(fù)雜的不等式方面有著重大作用。通過(guò)探討了凸函數(shù)與不等式之間的密切關(guān)系，利用凸函數(shù)的凸性來(lái)研究不等式，比傳統(tǒng)方法更簡(jiǎn)潔，還進(jìn)一步探討了不等式的一些具體應(yīng)用。</p><p>　　凸函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，特別是在不等式的證明中，函數(shù)凸性的應(yīng)用顯著地體現(xiàn)在求最值、不等式的證明上。利用凸函數(shù)的

50、性質(zhì)證明有關(guān)不等式，可以使難度較大且證明過(guò)程復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明比較容易，證明過(guò)程簡(jiǎn)單的問(wèn)題，關(guān)鍵是尋找合適的凸函數(shù)，若不能直接找出，則可以對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，從而達(dá)到證明不等式的目的。凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景,一些常見(jiàn)的不等式都可以從函數(shù)的凸性中導(dǎo)出。鄒自德[12]指出：凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，由凸函數(shù)可以引導(dǎo)出各種平均值并對(duì)這些平均值進(jìn)行比較。</p><p>　　梁艷[13]指出：凸

51、函數(shù)是一類(lèi)非常重要的函數(shù)，在不等式的研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮的作用是無(wú)可替代的，可以根據(jù)凸凹函數(shù)的特性，結(jié)合典型事例，來(lái)說(shuō)明凸函數(shù)在處理一些有較大難度不等式證明中的應(yīng)用。</p><p>　　證明不等式是凸函數(shù)的一個(gè)重要的應(yīng)用領(lǐng)域，但是關(guān)鍵是構(gòu)造能解決問(wèn)題的凸函數(shù)。</p><p>　　3.1 凸函數(shù)在證明初等不等式中的應(yīng)用</p><p>　　例：證明：當(dāng)且時(shí)，有&

52、lt;/p><p>　　有人看到題中有就會(huì)設(shè)，則。但是仔細(xì)一看就會(huì)發(fā)現(xiàn)由要證的不等式怎么也構(gòu)造不出，所以構(gòu)造輔助函數(shù)是不行的。</p><p>　　我們把要證的不等式稍作變形，兩邊同乘以，得到，這時(shí)顯而易見(jiàn)，若構(gòu)造輔助函數(shù)，則即證。</p><p><b>　　證明：設(shè)</b></p><p>　　可得

53、 ，</p><p>　　得出在上是嚴(yán)格凸函數(shù)，</p><p><b>　　所以，有：</b></p><p><b>　　即：</b></p><p>　　3.2 凸函數(shù)在證明函數(shù)不等式中的應(yīng)用</p><p>　　例：證明：對(duì)任何非負(fù)實(shí)數(shù)有：</p&g

54、t;<p><b>　　證明：令，</b></p><p><b>　　，因此</b></p><p>　　在上是凸的，由性質(zhì)可知，對(duì)任何的非負(fù)實(shí)數(shù)有：</p><p><b>　　即：</b></p><p><b>　　例：已知：求證：</b&

55、gt;</p><p>　　證明：設(shè)因?yàn)?，由性質(zhì)可知在上為凸函數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)性質(zhì)</p><p><b>　　命題得證。</b></p><p>　　3.3 凸函數(shù)在證明積分不等式中的應(yīng)用</p><p>　　例：設(shè)在上可積且，是在上的連續(xù)凸函數(shù)則</p><p><b>　　證明：令

56、</b></p><p><b>　　由于是凸函數(shù)，故有</b></p><p>　　由定積分的定義在上式中令時(shí)</p><p><b>　　則有。</b></p><p>　　3.4 凸函數(shù)在證明Jensen不等式中的應(yīng)用</p><p>　　王秋亮[14]討

57、論了凸函數(shù)在證明Jensen不等式時(shí)的應(yīng)用。不論導(dǎo)出不等式還是證明不等式，利用Jensen不等式的關(guān)鍵在于選取適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)，并且根據(jù)想要構(gòu)造或證明的不等式的形式選取恰當(dāng)?shù)闹?。并且?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法在用凸函數(shù)來(lái)證明Jensen不等式時(shí)，可以得到較好的效果。并且Jensen不等式在證明一些較難的不等式中都可以得到很好的應(yīng)用，可以是一些不等式的證明過(guò)程變得簡(jiǎn)潔易懂。</p><p>　　例：利用凸函數(shù)的Jensen不等式可

58、以推證三種平均不等式（，其中</p><p><b>　　：，：，：）</b></p><p><b>　　證：對(duì)函數(shù)有</b></p><p><b>　　所以在上為凸函數(shù)</b></p><p>　　令，利用Jensen不等式有：</p><p>　

59、　所以 </p><p>　　令 ，</p><p>　　有 </p><p><b>　　又將換成，</b></p><p>　　有 </p><p>&

60、lt;b>　　綜合有：</b></p><p><b>　　即：</b></p><p>　　例：利用凸函數(shù)的Jensen不等式推證柯西不等式</p><p><b>　　對(duì)于函數(shù)有</b></p><p><b>　　令代入</b></p>&

61、lt;p>　　再由Jensen不等式得：</p><p><b>　　將代入上式中的，得</b></p><p><b>　　將換成，換成則有：</b></p><p><b>　?。睿?lt;/b></p><p><b>　　令上式變形為：</b>&

62、lt;/p><p><b>　　這就是柯西不等式。</b></p><p>　　利用Jensen不等式，柯西不等式可以證明一些比較復(fù)雜的不等式。</p><p>　　3.5凸函數(shù)在證明Hadamard不等式中的應(yīng)用</p><p>　　我們所知Jensen不等式通常用來(lái)證明有限不等式，它是將無(wú)窮項(xiàng)求和與積分聯(lián)系起來(lái)的重要橋梁

63、。而Hadamard不等式可以對(duì)兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)加細(xì)。</p><p>　　鄭寧國(guó)[15]給出了Hadamard不等式的兩種證明方法。討論了凸函數(shù)在證明Hadamard不等式時(shí)的應(yīng)用。選取適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)來(lái)證明Hadamard不等式，并且根據(jù)要證明的不等式的形式選取恰當(dāng)?shù)闹怠?lt;/p><p>　　Hadamard不等式：設(shè)是上連續(xù)的凸函數(shù)，則有。</p><

64、p>　　此不等式即為Hadamard不等式。</p><p>　　證明：根據(jù)積分區(qū)間具有可加性，有.</p><p><b>　　因?yàn)?，（其中令）?lt;/b></p><p>　　所以 </p><p>　　即有 。</p><p&g

65、t;<b>　　令，</b></p><p>　　則 </p><p><b>　　=.</b></p><p>　　即有 </p><p>　　所以Hadamard不等式成立。</p><p>　　關(guān)于凸函數(shù)的理論及

66、應(yīng)用有許多專(zhuān)門(mén)的研究，利用凸函數(shù)的概念可以來(lái)解決不等式的證明有許多方便之處，現(xiàn)實(shí)中常常利用凸函數(shù)的概念來(lái)證明數(shù)學(xué)分析中的一些常見(jiàn)的不等式。李艷梅，李雪梅[16]給出了凸函數(shù)在分析不等式證明中的應(yīng)用，利用凸函數(shù)的性質(zhì)及Jensen不等式，對(duì)數(shù)學(xué)分析中諸多不等式給予證明，在解題過(guò)程中可以舉一反三，利用Jensen不等式的一些特殊情況，來(lái)得到一些常用的分析不等式。</p><p>　　關(guān)于不等式的證明有許多途徑，從以上

67、例子看到凸函數(shù)的理論在分析不等式的證明中有著非常重要的作用。</p><p><b>　　4 結(jié)論</b></p><p>　　函數(shù)凸性的應(yīng)用顯著地體現(xiàn)在求最值、不等式的證明上[17]。不等式的證明方法很多，技巧性強(qiáng)，函數(shù)凸性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體形態(tài)，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的構(gòu)造凸函數(shù)，可以簡(jiǎn)單輕快得證明不等式。一些常見(jiàn)的不等式都可以從函數(shù)的凸性中導(dǎo)出

68、。鄒自德[12]指出：凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，由凸函數(shù)可以引導(dǎo)出各種平均值并對(duì)這些平均值進(jìn)行比較。梁艷[13]指出：凸函數(shù)是一類(lèi)非常重要的函數(shù)，在不等式的研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮的作用是無(wú)可替代的，可以根據(jù)凸凹函數(shù)的特性，結(jié)合典型事例，來(lái)說(shuō)明凸函數(shù)在處理一些有較大難度不等式證明中的應(yīng)用。</p><p>　　在不等式的研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮著很重要的作用，在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景，我們可以根據(jù)凸凹函數(shù)的特

69、性，來(lái)解決一系列擁有較大難度的不等式，以及導(dǎo)出一些較難的不等式，通過(guò)凸函數(shù)的性質(zhì)來(lái)得到比較直觀的證明，可以來(lái)導(dǎo)出如幾何平均值不大于算數(shù)平均值這一類(lèi)比較難的不等式，說(shuō)明了凸函數(shù)在處理一些有較大難度不等式證明中有著較好的作用。</p><p>　　王秋亮[14]討論了凸函數(shù)在證明Jensen不等式時(shí)的應(yīng)用。不論導(dǎo)出不等式還是證明不等式，利用Jensen不等式的關(guān)鍵在于選取適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)，并且根據(jù)想要構(gòu)造或證明的不等式的

70、形式選取恰當(dāng)?shù)闹怠２⑶覒?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法在用凸函數(shù)來(lái)證明Jensen不等式時(shí)，可以得到較好的效果。鄭寧國(guó)[15]給出了Hadamard不等式的兩種證明方法。討論了凸函數(shù)在證明Hadamard不等式時(shí)的應(yīng)用。選取適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)來(lái)證明Hadamard不等式，并且根據(jù)要證明的不等式的形式選取恰當(dāng)?shù)闹怠?lt;/p><p>　　關(guān)于凸函數(shù)的理論及應(yīng)用有許多專(zhuān)門(mén)的研究，利用凸函數(shù)的概念可以來(lái)解決不等式的證明有許多方便之處，現(xiàn)實(shí)中常常

71、利用凸函數(shù)的概念來(lái)證明分析中的一些常見(jiàn)的不等式。李艷梅，李雪梅[16]給出了凸函數(shù)在分析不等式證明中的應(yīng)用，利用凸函數(shù)的性質(zhì)及Jensen不等式，對(duì)數(shù)學(xué)分析中諸多不等式給予證明，從中可舉一反三，利用Jensen不等式的一些特殊情況，可以得到一些常用的分析不等式。</p><p>　　運(yùn)用了凸函數(shù)的性質(zhì)及Jensen不等式[17]，可以很簡(jiǎn)潔的來(lái)證得分析不等式。解決不等式的證明有著許多方便之處，凸函數(shù)適當(dāng)?shù)膽?yīng)用，使

72、證明過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，會(huì)使結(jié)論的得出更加的方便。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 蒲義書(shū)、陳露.凸函數(shù)概論[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006，9（4）：34-71.</p><p>　　[2] 數(shù)學(xué)分析[M].第三版.北京: 高等教育出版社，2006：148-154.</p><p>　

73、　[3] 江芹、陳文略.嚴(yán)格凸函數(shù)的判定[J].高等函授學(xué)報(bào),2006,19(4)：27-28.</p><p>　　[4] 古小敏.對(duì)凸函數(shù)定義之間等價(jià)性的進(jìn)一步研究[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26（2）：171-182.</p><p>　　[5] 劉國(guó)華、陳妍、龐培林、張志海.關(guān)于凸函數(shù)的八個(gè)等價(jià)定義[J].河北建筑科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，20（3）：82-83.</p

74、><p>　　[6] 李碧榮.凸函數(shù)及其性質(zhì)在不等式證明中的應(yīng)用[J]. 廣州師范學(xué)院報(bào)，2004，21(2)：93－95.</p><p>　　[7] 狄雷.凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].理工科研，2009.:172-173.</p><p>　　[8] 王華.關(guān)于凸函數(shù)性質(zhì)的總結(jié)[J].科技教育，2005，235-236.</p><p>　　

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76、1.</p><p>　　[11]劉鴻基、張志宏.凸函數(shù)的等價(jià)定義及其微積分性質(zhì)的討論[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，24(6）：123-125.</p><p>　　[12] 鄒自德.凸函數(shù)及應(yīng)用[J].廣州廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，8(1):104-112.</p><p>　　[13]梁艷.凸函數(shù)的應(yīng)用[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，25：90-91

77、.</p><p>　　[14]王秋亮.凸函數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].晉城職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，2（3）：95-96.</p><p>　　[15]鄭寧國(guó).凸函數(shù)的Hadamard不等式的兩種證明方法[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，27（2）：15-17.</p><p>　　[16]李艷梅、李雪梅.凸函數(shù)在分析不等式證明中的應(yīng)用[J].高等職業(yè)教育天津職

78、業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2003,13(1)：33-37.</p><p>　　[17]Zhenglu jiang,Xiaoyong Fu,Hongjiong Tian. Convex Functions and Ineoualities For integrals[J]. J.Inequal.Pure and Appl.Math，2006，7(5).</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述&

79、lt;/b></p><p><b>　　函數(shù)的凸性及應(yīng)用</b></p><p>　　一、前言部分（說(shuō)明寫(xiě)作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說(shuō)明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn)）</p><p>　　凸函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)。對(duì)函數(shù)凹凸性的研究，在數(shù)學(xué)分析的多個(gè)分支都有用處。特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導(dǎo)方面，凸函數(shù)都有著十分重要的作用。凸函數(shù)

80、的定義，最早是由Jersen給出的。各文獻(xiàn)中對(duì)凸函數(shù)的定義不盡相同，在大學(xué)的數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材中，常常只研究具有二階導(dǎo)數(shù)的凸函數(shù)。</p><p>　　本文首先給出凸函數(shù)的定義以及對(duì)凸函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)。然后由基本性質(zhì)進(jìn)行延伸，進(jìn)一步給出凸函數(shù)的應(yīng)用。對(duì)于凸函數(shù)的應(yīng)用，本文擬將主要介紹以下的幾點(diǎn)：凸函數(shù)在證明Jensen不等式時(shí)的應(yīng)用；凸函數(shù)在Hadamard不等式中的證明的應(yīng)用；凸函數(shù)在分析不等式中的應(yīng)

81、用等。</p><p>　　二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對(duì)這些問(wèn)題的評(píng)述）</p><p>　　凸函數(shù)具有一些非常優(yōu)良的性質(zhì)[1]，有著較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。1905年丹麥數(shù)學(xué)家Jensen首次給出了凸函數(shù)的定義，經(jīng)過(guò)近百年努力，凸函數(shù)的研究在各個(gè)方面正得到長(zhǎng)足的發(fā)展，在現(xiàn)代學(xué)習(xí)和生活中的重要性已經(jīng)不斷的凸顯出來(lái)。凸函數(shù)是一類(lèi)

82、非常重要的函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的凸性，不僅可以科學(xué)、準(zhǔn)確的描述函數(shù)的圖像，而且也有證明不等式的凸函數(shù)方法，同時(shí)，凸函數(shù)也是優(yōu)化問(wèn)題中重要的研究對(duì)象，它研究的內(nèi)容非常豐富，研究的結(jié)果也在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用就顯得尤為重要。</p><p><b>　　2.1凸函數(shù)的定義</b></p><p>　　2.1.1凸函數(shù)一些基本定義</p>

83、;<p>　　通過(guò)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，對(duì)于函數(shù)和的圖像，我們很容易看出它們之間的不同點(diǎn)：曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線(xiàn)的下方；而曲線(xiàn)則相反，在任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線(xiàn)的上方。通過(guò)這兩個(gè)函數(shù)，我們把前一種特性的曲線(xiàn)稱(chēng)為凸的，后一種為凹的。對(duì)于凸的我們稱(chēng)其函數(shù)為凸函數(shù)。</p><p>　　數(shù)學(xué)分析[2]給出了凸函數(shù)的基本定義：設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)上的任意兩點(diǎn)，和任意實(shí)數(shù)總有,則稱(chēng)為上的

84、凸函數(shù)。</p><p>　　葛麗萍[3]介紹了以下的結(jié)論：若區(qū)間上的任意三點(diǎn)，總存在，這個(gè)條件是為上的凸函數(shù)的充要條件，該證明在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)詳細(xì)的給出了。同理，通過(guò)推廣，可以得出另一個(gè)更進(jìn)一步的充要條件：在區(qū)間上的任意三點(diǎn)，有成立，則為上的凸函數(shù)。并且若為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在上為凸函數(shù)的充要條件為。</p><p>　　2.1.2嚴(yán)格凸函數(shù)的定義</p><p

85、>　　江芹,陳文略[4]給出了嚴(yán)格凸函數(shù)的定義并且討論了區(qū)間上嚴(yán)格凸函數(shù)的判定方法。</p><p>　　定義：凸函數(shù)的定義為函數(shù)滿(mǎn)足以下不等式，其中為區(qū)間上的函數(shù)，，為上的任意兩點(diǎn)和。當(dāng)上面的不等式變?yōu)闀r(shí)，其余條件不變，該函數(shù)稱(chēng)為嚴(yán)格凸函數(shù)。</p><p>　　判定方法：1、設(shè)為區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)，在上嚴(yán)格遞增，則在區(qū)間上是嚴(yán)格凸函數(shù)。反之，不成立；2、設(shè)為區(qū)間上二階可導(dǎo)函數(shù),在上.

86、則在區(qū)間上是嚴(yán)格凸函數(shù)。</p><p>　　2.1.3凸函數(shù)的等價(jià)描述</p><p>　　林銀河[5]詳細(xì)論述了凸函數(shù)的等價(jià)描述，由此得出：若在上有定義，則以下3個(gè)命題等價(jià)：</p><p><b>　　在上為凸函數(shù)；</b></p><p><b>　　，，有；</b></p>

87、<p><b>　　，且不全為零，有</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　其中命題就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中令就得到如下定義：設(shè)在區(qū)間上有定義，稱(chēng)為上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)有。</p><p>　　葛麗萍[3]介紹了函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的等價(jià)條件：若為區(qū)間上的可導(dǎo)

88、函數(shù)，可得出以下等價(jià)條件。（1）為上的凸；（2）為上的增函數(shù)；（3）對(duì)上的任意兩點(diǎn)，，有。</p><p>　　2.2凸函數(shù)的一些性質(zhì)</p><p>　　2.2.1凸函數(shù)的連續(xù)性</p><p>　　凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一類(lèi)重要函數(shù)，而函數(shù)的連續(xù)性又是函數(shù)性態(tài)的一項(xiàng)基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒(méi)有對(duì)函數(shù)作出連續(xù)性及可導(dǎo)性假設(shè)，Jensen意義下凸函

89、數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)，從凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系。那么我們就會(huì)提出這樣的問(wèn)題：當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足何種條件時(shí)，是區(qū)間上的凸函數(shù)；當(dāng)凸函數(shù)滿(mǎn)足何種條件時(shí)，是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)；連續(xù)凸函數(shù)在區(qū)間上具有何種性質(zhì)？</p><p>　　例如函數(shù)，我們?nèi)菀鬃C明在上是凸函數(shù)，但在上不連續(xù)。存在函數(shù)，可以得出函數(shù)在上是連續(xù)的，但是函數(shù)在上不是凸函數(shù)。</p><p&g

90、t;　　上面這個(gè)例題說(shuō)明凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)。</p><p>　　宋方[6]提出，如果連續(xù)函數(shù)為凸函數(shù)，必定滿(mǎn)足以下定義：對(duì)任意的及，恒有：。</p><p>　　例：證明連續(xù)函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)。</p><p>　　分析：因?yàn)?，只要存在就能說(shuō)明函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)。顯然能夠找到滿(mǎn)足條件的</p><p>　　性質(zhì)

91、[7]：若在區(qū)間上連續(xù)，且滿(mǎn)足</p><p><b>　　或 </b></p><p>　　其中，則是上的凸函數(shù)。</p><p>　　2.2.2凸函數(shù)的微積分性質(zhì)</p><p>　　劉鴻基，張志宏[8]指出凸函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)，有著較好的分析性質(zhì)，而關(guān)于凸函數(shù)，一般教材大都從幾何意義方面引出定義，描述為：凸

92、曲線(xiàn)弧段上任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)而成的弦，總是位于曲線(xiàn)弧段的下方；或者，當(dāng)曲線(xiàn)各點(diǎn)處存在切線(xiàn)時(shí)，凸曲線(xiàn)弧全部位于曲線(xiàn)上各點(diǎn)處切線(xiàn)的下方。前者往往作為定義使用，后者是凸函數(shù)的充分必要條件，也可以作為定義作用。劉鴻基，張志宏[8]舉證了凸函數(shù)的4個(gè)等價(jià)性定義，并對(duì)凸函數(shù)的微積分性質(zhì)予以討論，得到兩個(gè)重要的微積分性質(zhì)：</p><p>　　1.設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在上是凸函數(shù)的充分必要條件是：對(duì)任意點(diǎn)，恒有。</p>

93、<p>　　2.設(shè)是上的凸函數(shù)，則</p><p>　　性質(zhì)2分析：因?yàn)槭情]區(qū)間上的凸函數(shù)，因而是連續(xù)的，也是可積的。</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，，</b></p><p><b>　　因此有。</b></p><p><b>　　根據(jù)定義，可得</b>&l

94、t;/p><p><b>　　即。</b></p><p>　　根據(jù)定積分性質(zhì)對(duì)于，</p><p><b>　　令則</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　再者，若令，則，于是</p><p>　　綜

95、上所述，結(jié)論成立。</p><p>　　2.2.3關(guān)于凸函數(shù)性質(zhì)的總結(jié)</p><p>　　王華[9]提出常見(jiàn)的凸函數(shù)定義有八個(gè)，此處就其中幾個(gè)定義間的關(guān)系、幾何意義作進(jìn)一步思考，來(lái)得出有關(guān)凸函數(shù)的性質(zhì)。</p><p>　　根據(jù)文中所闡述和定義的，歸納出以下性質(zhì)：</p><p>　　1．當(dāng)在上一階可導(dǎo)，在凸 。由于是過(guò)點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)，不

96、等式的幾何意義是：上凸曲線(xiàn)總在曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)之上。</p><p>　　2．在上二階可導(dǎo)，在凸。</p><p>　　3．若在上可導(dǎo)，則下述兩個(gè)不等式等價(jià)（1）；（2）。</p><p>　　4．若在凸，則下述兩個(gè)不等式等價(jià)（1）有；（2）有。</p><p>　　5．若在凸，則（1），有，都存在，且；（2）在連續(xù)。</p>

97、<p>　　例：證明上（下）凸函數(shù)都是連續(xù)的。</p><p>　　針對(duì)性質(zhì)5分析：，取，據(jù)定義得式（﹡）又據(jù)其幾何意義，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，故當(dāng)時(shí)單調(diào)有上界；時(shí)單調(diào)有下界，于是極限及存在，而這兩個(gè)極限即及，故對(duì)式（*）取極限，即可得。</p><p><b>　　同時(shí)可知</b></p><p>　　即。故在的內(nèi)點(diǎn)連續(xù)，即在上連續(xù)是在

98、上（下）凸的必要條件。</p><p>　　2.3凸函數(shù)的一些應(yīng)用</p><p>　　2.3.1凸函數(shù)的應(yīng)用概述</p><p>　　凸函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，特別是在不等式的證明中，函數(shù)凸性的應(yīng)用顯著地體現(xiàn)在求最值、不等式的證明上。利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明有關(guān)不等式，可以使難度較大且證明過(guò)程復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明比較容易，證明過(guò)程簡(jiǎn)單的問(wèn)題，關(guān)鍵是尋找合適的凸函數(shù)，若

99、不能直接找出，則可以對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，從而達(dá)到證明不等式的目的。凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景,一些常見(jiàn)的不等式都可以從函數(shù)的凸性中導(dǎo)出。鄒自德[10]指出：凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，由凸函數(shù)可以引導(dǎo)出各種平均值并對(duì)這些平均值進(jìn)行比較。</p><p>　　例：幾何平均值不大于算數(shù)平均值（利用凸函數(shù)導(dǎo)出常用的不等式）</p><p>　　分析：設(shè)，考慮指數(shù)函數(shù)，是凸函數(shù)，

100、從而對(duì)</p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　成立。</b></p><p><b>　　令，則得到</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　這就是人們熟知的“幾何平均值不大

101、于算數(shù)平均值”定理。</p><p>　　梁艷[11]指出：凸函數(shù)是一類(lèi)非常重要的函數(shù)，在不等式的研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮的作用是無(wú)可替代的，可以根據(jù)凸凹函數(shù)的特性，結(jié)合典型事例，來(lái)說(shuō)明凸函數(shù)在處理一些有較大難度不等式證明中的應(yīng)用。</p><p>　　例：證明下列不等式：</p><p><b>　　對(duì)任意實(shí)數(shù)有.</b></p>

102、<p>　　分析：（1）設(shè)，由于，而，故是上的凸函數(shù)，由定義可知，有，即.</p><p>　　小結(jié)：在不等式的研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮著很重要的作用，在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景，我們可以根據(jù)凸凹函數(shù)的特性，來(lái)解決一系列擁有較大難度的不等式，以及導(dǎo)出一些較難的不等式，如上面所給出的指數(shù)不等式，三角函數(shù)不等式都能通過(guò)凸函數(shù)的性質(zhì)來(lái)得到比較直觀的證明，可以來(lái)導(dǎo)出如幾何平均值不大于算數(shù)平均值這一類(lèi)比較難的不等

103、式，說(shuō)明了凸函數(shù)在處理一些有較大難度不等式證明中有著較好的應(yīng)用。</p><p>　　2.3.2凸函數(shù)在證明Jensen不等式時(shí)的應(yīng)用</p><p>　　王秋亮[12]討論了凸函數(shù)在證明Jensen不等式時(shí)的應(yīng)用。不論導(dǎo)出不等式還是證明不等式，利用Jensen不等式的關(guān)鍵在于選取適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)，并且根據(jù)想要構(gòu)造或證明的不等式的形式選取恰當(dāng)?shù)闹怠２⑶覒?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法在用凸函數(shù)來(lái)證明Jensen

104、不等式時(shí)，可以得到較好的效果。</p><p>　　定理1（Jensen不等式）：若設(shè)區(qū)間上有定義，則以下兩條件等價(jià)：</p><p>　　1. 在上為凸函數(shù)；</p><p>　　2. ，有 （*）</p><p>　　分析：21只要令即得。</p><p>　　12應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)為凸函數(shù)。

105、設(shè)時(shí)命題成立，即有，現(xiàn)設(shè)，及令，，。由數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)可推得</p><p><b>　　=.</b></p><p>　　這就證明了對(duì)任何正整數(shù)，凸函數(shù)總有不等式（*）成立。</p><p>　　2.3.3凸函數(shù)在證明Hadamard不等式時(shí)的應(yīng)用</p><p>　　鄭寧國(guó)[13]給出了Hadamard不等式的兩種證明

106、方法。討論了凸函數(shù)在證明Hadamard不等式時(shí)的應(yīng)用。選取適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)來(lái)證明Hadamard不等式，并且根據(jù)要證明的不等式的形式選取恰當(dāng)?shù)闹怠?lt;/p><p>　　Hadamard不等式：設(shè)是上連續(xù)的凸函數(shù)，則有.</p><p>　　分析：根據(jù)積分區(qū)間具有可加性，有.</p><p><b>　　因?yàn)椋ㄆ渲辛睿?lt;/b></p>

107、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　即有。令，</b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　　即有</b></p&

108、gt;<p>　　所以Hadamard不等式成立。</p><p>　　2.3.4凸函數(shù)在分析不等式中的應(yīng)用</p><p>　　關(guān)于凸函數(shù)的理論及應(yīng)用有許多專(zhuān)門(mén)的研究，利用凸函數(shù)的概念可以來(lái)解決不等式的證明有許多方便之處，現(xiàn)實(shí)中常常利用凸函數(shù)的概念來(lái)證明分析中的一些常見(jiàn)的不等式。李艷梅，李雪梅[14]給出了凸函數(shù)在分析不等式證明中的應(yīng)用，利用凸函數(shù)的性質(zhì)及Jensen不等式

109、，對(duì)數(shù)學(xué)分析中諸多不等式給予證明，從中可舉一反三，利用Jensen不等式的一些特殊情況，可以得到一些常用的分析不等式。</p><p><b>　　例：.</b></p><p><b>　　分析：假設(shè)函數(shù)，</b></p><p><b>　　有，</b></p><p>　

110、　由Jensen不等式取有于是</p><p><b>　　有</b></p><p>　　小結(jié)：此處運(yùn)用了凸函數(shù)的性質(zhì)及Jensen不等式，可以很簡(jiǎn)潔的證得該分析不等式。解決不等式的證明有著許多方便之處，凸函數(shù)適當(dāng)?shù)膽?yīng)用，使證明過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，結(jié)論得出更加的方便。</p><p>　　三、總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要總結(jié)，提出自己的見(jiàn)解并對(duì)進(jìn)一

111、步的發(fā)展方向做出預(yù)測(cè)）</p><p>　　凸函數(shù)具有一些非常優(yōu)良的性質(zhì),有著較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用[15]。凸函數(shù)是一類(lèi)非常重要的函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的凸性，不僅可以科學(xué)、準(zhǔn)確的描述函數(shù)的圖像，而且也有證明不等式的凸函數(shù)方法，同時(shí)，凸函數(shù)也是優(yōu)化問(wèn)題中重要的研究對(duì)象，它研究的內(nèi)容非常豐富，研究的結(jié)果也在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　本文首先對(duì)凸

112、函數(shù)定義進(jìn)行介紹，凸函數(shù)的等價(jià)性質(zhì)進(jìn)行了概述；接下來(lái)介紹了凸函數(shù)的基本性質(zhì)，然后由此延伸，進(jìn)一步提出凸函數(shù)的應(yīng)用，主要集中在下面幾方面的應(yīng)用：凸函數(shù)在Hadamard不等式證明中的應(yīng)用，凸函數(shù)在證明Jensen不等式時(shí)的應(yīng)用，凸函數(shù)在分析不等式中的應(yīng)用等方面進(jìn)行了討論。</p><p>　　四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）</p><p>　　[1] 蒲義書(shū)、陳露.凸函

113、數(shù)概論[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006，9（4）：34-71.</p><p>　　[2] 數(shù)學(xué)分析[M].第三版.北京: 高等教育出版社，2006：148-154.</p><p>　　[3] 葛麗萍. 關(guān)于凸函數(shù)的幾個(gè)充分必要條件[J].文化教育，2010，(5)：193-193.</p><p>　　[4] 江芹、陳文略.嚴(yán)格凸函數(shù)的判定[J].高等函授學(xué)報(bào),2

114、006,19(4)：27-28.</p><p>　　[5] 林銀河.凸函數(shù)的等價(jià)描述與Jensen不等式[J].麗水師范專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2001，23（2）：8-11.</p><p>　　[6] 宋方.關(guān)于凸函數(shù)的定義和性質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，27(8)：189－194.</p><p>　　[7] Jonathan M.Borwein, Jon

115、 Vanderwerff. Constructions of Uniformly Convex Functions[J]. 2000 Mathematics Subject Classification, 2000, 1-10.</p><p>　　[8]劉鴻基、張志宏.凸函數(shù)的等價(jià)定義及其微積分性質(zhì)的討論[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，24(6）：123-125.</p><p>　

116、　[9] 王華.關(guān)于凸函數(shù)性質(zhì)的總結(jié)[J].科技教育，2005，235-236.</p><p>　　[10] 鄒自德.凸函數(shù)及應(yīng)用[J].廣州廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，8(1):104-112.</p><p>　　[11]梁艷.凸函數(shù)的應(yīng)用[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，25：90-91.</p><p>　　[12]王秋亮.凸函數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].

117、晉城職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，2（3）：95-96.</p><p>　　[13]鄭寧國(guó).凸函數(shù)的Hadamard不等式的兩種證明方法[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，27（2）：15-17.</p><p>　　[14]李艷梅、李雪梅.凸函數(shù)在分析不等式證明中的應(yīng)用[J].高等職業(yè)教育天津職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2003,13(1)：33-37.</p><p>　　[

118、15]Zhenglu jiang,Xiaoyong Fu,Hongjiong Tian. Convex Functions and Ineoualities For integrals[J]. J.Inequal.Pure and Appl.Math，2006，7(5).</p><p><b>　　開(kāi)題報(bào)告</b></p><p>　　函數(shù)的凸性及應(yīng)用

119、 </p><p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)）</p><p>　　凸函數(shù)具有一些非常優(yōu)良的性質(zhì)[1], 有著較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。1905年丹麥數(shù)學(xué)家Jensen首次給出了凸函數(shù)的定義，開(kāi)創(chuàng)了凸函數(shù)研究的先河，經(jīng)過(guò)近百年努力，凸函數(shù)的研究在各個(gè)方面正得到長(zhǎng)足的發(fā)展，其中，凸函數(shù)的判據(jù)研究已接近完

120、善，在現(xiàn)代學(xué)習(xí)和生活中的重要性已經(jīng)不斷的凸顯出來(lái)。凸分析是近年來(lái)凹凸函數(shù)發(fā)展起來(lái)的一門(mén)應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)支，尤其是在最優(yōu)化理論方面的應(yīng)用更為突出，人們對(duì)凸分析的自身理論發(fā)展也進(jìn)行了廣泛的深入研究，使得凸函數(shù)的性質(zhì)也得到了較好的發(fā)展。在凸規(guī)劃理論、尤其是非線(xiàn)性最優(yōu)化中，函數(shù)的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年來(lái)，研究函數(shù)各種凸性的文獻(xiàn)越來(lái)越多。</p><p>　　凸函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)。對(duì)函數(shù)凹凸性的研究，在