畢業(yè)論文歐式期權(quán)定價(jià)理論及其數(shù)值計(jì)算方法

1、<p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p>　　200630980125</p><p>　　答辯委員會(huì)主席 ____________</p><p>　　評(píng) 閱 人 ___ _______</p><p>　　摘 要</p><p>　　隨著全球金融市場(chǎng)

2、的迅猛發(fā)展，期權(quán)也越來越受到很多人的關(guān)注，有必要對(duì)期權(quán)進(jìn)行更加深入的研究。前人已經(jīng)對(duì)歐式期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了很深入的研究，在1973年Fischer Black和Myron Scholes建立了看漲期權(quán)定價(jià)公式并因此獲得諾貝爾學(xué)獎(jiǎng)。本文對(duì)歐式期權(quán)的定價(jià)的討論主要在其定價(jià)模型和數(shù)值計(jì)算方法兩個(gè)方面，探討其理論知識(shí)和進(jìn)行實(shí)例分析，并得出簡(jiǎn)單的結(jié)論。</p><p>　　本文將從以下六個(gè)方面討論。第一：介紹問題的背景和意義，

3、先前的研究成果以及本文框架；第二：討論期權(quán)的基礎(chǔ)知識(shí)，了解期權(quán)損益和定價(jià)界限；第三：研究二項(xiàng)式模型，由淺入深的分別給出股價(jià)運(yùn)動(dòng)一期、二期和多期的歐式期權(quán)定價(jià)公式；第四：研究Black-Scholes模型，通過求解Black-Scholes方程得到Black-Scholes公式，并探討B(tài)lack-Scholes模型和二項(xiàng)式模型的聯(lián)系，即得到波動(dòng)率，就可以求出與之相匹配的二項(xiàng)式模型中的，和；第五：用數(shù)值計(jì)算方法求解歐式期權(quán)定價(jià)，分析了二叉樹

4、圖法和有限差分法，有限差分方法又包括內(nèi)含有限差分方法、外推有限差分方法及Crank-Nicolson差分方法。兩種數(shù)值方法都要求得到末期的期權(quán)值來推出初期的期權(quán)值，然后進(jìn)行實(shí)例分析進(jìn)行應(yīng)用，并用計(jì)算機(jī)語言把數(shù)學(xué)內(nèi)容表示出來，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與計(jì)算機(jī)語言的結(jié)合。第六：通過以上的內(nèi)容得出一些結(jié)論。本文的重心是基于對(duì)期權(quán)定價(jià)的模型和數(shù)值方法的探討和分析，加以實(shí)例輔助突出其應(yīng)用性，不足之處在于理論的突破性不大。</p><p&g

5、t;　　關(guān)鍵詞 歐式期權(quán)定價(jià)　　二項(xiàng)式模型　　Black-Scholes模型　　有限差分　　二叉樹圖</p><p>　　目 錄</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 選題的背景和意義1</p><p>　　1.2 前人的研究成果2</p>

6、<p>　　1.3 論文的研究框架3</p><p>　　2 期權(quán)基本理論3</p><p>　　2.1 期權(quán)的相關(guān)術(shù)語3</p><p>　　2.2 期權(quán)的損益與期權(quán)價(jià)格的界限4</p><p>　　2.2.1 期權(quán)的損益4</p><p>　　2.2.2 歐式期權(quán)價(jià)格的界限5&

7、lt;/p><p>　　3 二項(xiàng)式模型6</p><p>　　3.1 二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型介紹6</p><p>　　3.2 歐式期權(quán)定價(jià)模型7</p><p>　　3.2.1 一期模型的歐式看漲期權(quán)定價(jià)7</p><p>　　3.2.2 二期模型的歐式看漲期權(quán)定價(jià)9</p><p>

8、;　　3.2.3 多期二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)公式10</p><p>　　4 Black-Scholes模型12</p><p>　　4.1 股票價(jià)格的行為模式12</p><p>　　4.2 歷史回顧13</p><p>　　4.3 Black-Scholes方程14</p><p>　　4.4 Bla

9、ck-Scholes公式(歐式看漲期權(quán)的定價(jià))15</p><p>　　4.5 二項(xiàng)式模型和Black-Scholes的模型的關(guān)系18</p><p>　　5 歐式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法18</p><p>　　5.1 二項(xiàng)式模型的數(shù)值計(jì)算19</p><p>　　5.1.1 二叉樹圖方法19</p><p&

10、gt;　　5.1.2 實(shí)例分析19</p><p>　　5.2 Black-Scholes公式(歐式期權(quán)定價(jià))的數(shù)值計(jì)算23</p><p>　　5.2.1 有限差分方法23</p><p>　　5.2.2 實(shí)例分析26</p><p><b>　　6 總結(jié)29</b></p><

11、p>　　6.1 本文結(jié)論29</p><p>　　6.2 展望未來30</p><p>　　致 謝31</p><p>　　參 考 文 獻(xiàn)32</p><p>　　Abstract33</p><p>　　附 錄34</p><p>　　本

12、科專業(yè)畢業(yè)論文成績(jī)?cè)u(píng)定表錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　1.1 選題的背景和意義</p><p>　　期權(quán)交易的出現(xiàn)已達(dá)幾個(gè)世紀(jì)之久。在17世紀(jì)30年代的“荷蘭郁金香熱”時(shí)期，郁金香的一些品種堪稱歐洲最為昂貴的稀世花卉。1635年，那些珍貴品種的郁金香球莖供不應(yīng)求，加上投機(jī)炒作，致使價(jià)

13、格飛漲20倍，成為最早有記載的泡沫經(jīng)濟(jì)。同時(shí)，這股投機(jī)狂潮卻開啟了期權(quán)交易的大門。郁金香交易商向種植者收取一筆費(fèi)用，授予種植者按約定最低價(jià)格向該交易商出售郁金香球莖的權(quán)利。同時(shí)，郁金香交易商通過支付給種植者一定數(shù)額的費(fèi)用，以獲取以約定的最高價(jià)格購(gòu)買球莖的權(quán)利。這種交易對(duì)于降低郁金香交易商和種植者的風(fēng)險(xiǎn)十分有用。 1973年4月，芝加哥期權(quán)交易所正式成立，標(biāo)志著期權(quán)交易進(jìn)入了標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化的全新發(fā)展階段。芝加哥期權(quán)交易所先后推出了

14、股票的買權(quán)(Call Options)和賣權(quán)(Put Options)都取得了成功。之后，美國(guó)商品期貨交易委員會(huì)放松了對(duì)期權(quán)交易的限制，有意識(shí)地推出商品期權(quán)交易和金融期權(quán)交易。1982年，作為試驗(yàn)計(jì)劃的一部分，芝加哥期貨交易所推出了長(zhǎng)期國(guó)債期貨的期權(quán)交易。1983年1月，芝加哥商業(yè)交易所推出了S&P 500股票指數(shù)期權(quán)，隨著股票指數(shù)期權(quán)交易的成功，各交易所將期權(quán)交易迅速擴(kuò)展</p><p>　　改革開放三

15、十年以來，中國(guó)同國(guó)際金融界的聯(lián)系越來越密切，如何防范和化解金融風(fēng)險(xiǎn)已引起有關(guān)放面的高度重視。自1995年始，中國(guó)期權(quán)市場(chǎng)發(fā)展僅有十余年的歷史，但期權(quán)市場(chǎng)需求已相當(dāng)成熟。如何對(duì)期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效的管理控制，已關(guān)系到期權(quán)開發(fā)能否從研究階段過渡到試運(yùn)行階段。然而，要對(duì)期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效的管理和控制，首先就必須對(duì)期權(quán)進(jìn)行合理的定價(jià)。因此，對(duì)期權(quán)定價(jià)方法的研究更為重要了。</p><p>　　1.2 前人的研究成果</

16、p><p>　　1900年法國(guó)金融專家Louis Bachelier就發(fā)表了第一篇關(guān)于期權(quán)定價(jià)的學(xué)位論文“Theorie de la Speculation”(投機(jī)交易理論)[1]，它被公認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)的里程碑，他在論文中首次提出用隨機(jī)游動(dòng)思想給出股票價(jià)格運(yùn)行的隨機(jī)模型。1964年P(guān)aul Samuelson對(duì)Louis Bachelier的模型進(jìn)行了修正，以股票的回報(bào)代替原模型中的股票價(jià)格，他還研究了看漲期權(quán)的定

17、價(jià)問題(C.Sprenkle(1965)和J.Baness(1964)也同樣研究了這個(gè)問題)，但是他們都沒有得出的具體的公式。1973年Fischer Black和Myron Scholes發(fā)表了論文“The pricing of options and corporate liabilities”[2]，在文中他們建立了看漲期權(quán)定價(jià)公式，并與1997年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。1976年，羅斯和約翰·考科斯(John Cox)在

18、《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志》上發(fā)表論文“The valuation of options for alternative stochastic process”，提出了風(fēng)險(xiǎn)中性</p><p>　　1979年，Cox，J.,S.Ross和M.Rubinstein對(duì)二叉樹圖數(shù)值方法進(jìn)行了介紹，采用倒退定價(jià)法對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，同年Rendleman, R., and B. Bartter在“Two State Option Pr

19、icing,”也對(duì)二叉樹法進(jìn)行了一定的研究。1977年，Phelim P. BOYLE發(fā)表論文”O(jiān)ptions: A Monte Carlo approach”將蒙特卡羅模擬方法應(yīng)用到求期權(quán)定價(jià)中。同樣是在1977年，Brennan，M.J.,and E.S.Schwarts發(fā)表了論文“The Valuation of American Put Options”首次將有限差分方法運(yùn)用到期權(quán)的定價(jià)中，有限差分方法主要有內(nèi)含的有限差分方法和

20、外推的有限差分方法。</p><p>　　本文主要基于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的研究和探討，研究期權(quán)定價(jià)模型的二項(xiàng)式模型和Black-Scholes模型。分析期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法：二叉樹圖法和有限差分方法，詳細(xì)說明它們的計(jì)算方法和步驟，并進(jìn)行實(shí)例分析，探討方法的有效性和總結(jié)自己的結(jié)論。</p><p>　　1.3 論文的研究框架</p><p>　　整篇論文共分為6章，第一章是對(duì)

21、整個(gè)論文體系的介紹，包括研究背景和意義和論文的框架兩部分；第二章是對(duì)期權(quán)的相關(guān)知識(shí)和期權(quán)定價(jià)的性質(zhì)進(jìn)行闡述；第三章研究歐式期權(quán)定價(jià)模型的二項(xiàng)式模型；第四章主要研究Black-Scholes模型的發(fā)展和定價(jià)公式；第五章就重點(diǎn)分析歐式期權(quán)定價(jià)的兩種數(shù)值方法：二叉樹圖方法和有限差分方法，然后舉例進(jìn)行實(shí)例分析；第六章對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)。</p><p><b>　　2 期權(quán)基本理論</b></p

22、><p>　　2.1 期權(quán)的相關(guān)術(shù)語</p><p>　　定義1.1：期權(quán)(Options)，又稱選擇權(quán)，是一份合約，持有合約的一方有權(quán)(但沒有義務(wù))向另一方在合約中事先指定的時(shí)刻(或此時(shí)刻之前)以合約中指定的價(jià)格購(gòu)買或出售某種指定數(shù)量的特殊物品。</p><p>　　這些物品大多為戰(zhàn)略物資，如石油、小麥、有色金屬等，也可以是某公司股票，可提前兌換的債權(quán)等。期權(quán)有兩種

23、基本類型，看漲期權(quán)(call options)和看跌期權(quán)(put options)。</p><p>　　定義2.2：看漲期權(quán)指期權(quán)合約中，一方有購(gòu)買的權(quán)利，另一方有出售的義務(wù)，簡(jiǎn)稱call。</p><p>　　定義2.3：看跌期權(quán)指期權(quán)合約中，一方有出售的權(quán)利，另一方有購(gòu)買的義務(wù)，簡(jiǎn)稱put。</p><p>　　定義2.4：執(zhí)行價(jià)格(exercise pric

24、e)，又稱敲定價(jià)格就是期權(quán)合約規(guī)定的買賣基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格。</p><p>　　根據(jù)期權(quán)的執(zhí)行方式不同，期權(quán)又分為歐式期權(quán)(European Options)和美式期權(quán)(American Options)。</p><p>　　定義2.5：歐式期權(quán)指只能在到期日那一天執(zhí)行的期權(quán)。</p><p>　　定義2.6：美式期權(quán)指可在到期日之前(包括到期日)任何時(shí)刻執(zhí)行的期權(quán)

25、。</p><p>　　定義2.7：期權(quán)價(jià)格是指有購(gòu)買(或出售)一單位基礎(chǔ)資產(chǎn)權(quán)利的期權(quán)的價(jià)格，是由買期權(quán)者支付給賣期權(quán)者(也稱寫期權(quán)者)的。</p><p>　　定義2.8：一個(gè)期權(quán)是否執(zhí)行依賴于對(duì)期權(quán)持有者有利的機(jī)會(huì)是否出現(xiàn)，故也稱期權(quán)為相機(jī)權(quán)益。</p><p>　　在任何一個(gè)時(shí)刻,對(duì)一個(gè)call，如果當(dāng)時(shí)的股票價(jià)格，則稱call為價(jià)內(nèi)的(in the mon

26、ey)；如果，稱為平價(jià)的(at the money)；如果，稱為價(jià)外的(out the money)。對(duì)put正好把不等式反過來，即如果，則稱此時(shí)的put為價(jià)內(nèi)的；如果，稱它為平價(jià)的；如果，則稱它為價(jià)外的。</p><p>　　2.2 期權(quán)的損益與期權(quán)價(jià)格的界限</p><p>　　2.2.1 期權(quán)的損益</p><p>　　在期權(quán)交易市場(chǎng)上，有人買進(jìn)期權(quán)(稱為

27、期權(quán)持有者)，相應(yīng)地必須有人出售這個(gè)期權(quán)(稱為寫期權(quán)者)，一個(gè)歐式看漲期權(quán)的持有者希望價(jià)格看漲，寫期權(quán)者希望價(jià)格看跌，二者的利益是完全對(duì)立的。任何時(shí)候，一方面獲益必是另一方面的損失。</p><p>　　一個(gè)以價(jià)格購(gòu)進(jìn)一個(gè)歐式看漲期權(quán)的持有者，在到期日，如果股票價(jià)格，則他就執(zhí)行權(quán)力，以購(gòu)進(jìn)，以出售，從而獲利；如果，則他選擇不執(zhí)行買的權(quán)力，從而損失初始投資。因此，有如下命題。</p><p>

28、;　　命題2.1：在到期日的“利潤(rùn)”或損益為</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　命題2.2：寫期權(quán)者在到期日的損益為</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p>　　同理，當(dāng)一個(gè)人以價(jià)格購(gòu)進(jìn)一個(gè)歐式看跌期權(quán)，則在到期日，有如下命題。</p&

29、gt;<p>　　命題2.3：持有者的利潤(rùn)函數(shù)為</p><p><b>　　(2.3)</b></p><p>　　命題2.4：寫期權(quán)者的利潤(rùn)函數(shù)為</p><p><b>　　(2.4)</b></p><p>　　2.2.2 歐式期權(quán)價(jià)格的界限</p><p

30、>　　我們先考慮歐式期權(quán)的評(píng)價(jià)問題。以歐式看漲期權(quán)為例，，討論一個(gè)期權(quán)“合理”價(jià)格應(yīng)該是多少。</p><p>　　一個(gè)歐式看漲期權(quán)，如果在到期日，股票價(jià)格，則行使權(quán)利的期權(quán)的價(jià)為，如果，不行使權(quán)利則期權(quán)價(jià)值為零。</p><p>　　因此，期權(quán)在時(shí)的價(jià)值：</p><p><b>　　(2.5)</b></p><p

31、>　　在當(dāng)前(時(shí))，是一個(gè)隨機(jī)變量。如果ST不是隨機(jī)變量，而是確定性知道的，為了不存在套利機(jī)會(huì)，時(shí)期權(quán)價(jià)格C0應(yīng)滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中為年無風(fēng)險(xiǎn)利率，事實(shí)上，若實(shí)際期權(quán)價(jià)，則在時(shí)借元并購(gòu)買期權(quán)，從而在時(shí)，行使權(quán)利得。這就是無風(fēng)險(xiǎn)套利，反之，若,則在時(shí)，賣期權(quán)并把得來的錢貸出即可無風(fēng)險(xiǎn)套利。</p>&

32、lt;p>　　當(dāng)為隨機(jī)變量時(shí)，自然把時(shí)的“合理”價(jià)格定義為</p><p><b>　　(2.6)</b></p><p>　　此處數(shù)學(xué)期望是以某個(gè)適當(dāng)?shù)母怕史植加?jì)算的。故用表示這個(gè)數(shù)學(xué)期望。</p><p>　　由此看出，寫在一個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)上的期權(quán)的價(jià)值依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，故把標(biāo)的資產(chǎn)稱為基礎(chǔ)證券，把像期權(quán)這類(價(jià)值依賴于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的

33、)證券稱為衍生證券。一般說來，人們并不知道這個(gè)概率分布，只能給出的估計(jì)結(jié)果。下面命題給出期權(quán)價(jià)值的上、下界估計(jì)，并且證明如果期權(quán)的價(jià)格超過上界或低于下界，就存在套利機(jī)會(huì)。</p><p>　　命題2.5：歐式看漲期權(quán)開始價(jià)值</p><p><b>　　(2.7)</b></p><p>　　命題2.6：對(duì)一個(gè)歐式看漲期權(quán)，若在到期日，有，且，

34、則</p><p><b>　　(2.8)</b></p><p>　　命題2.7：對(duì)一個(gè)歐式看跌期權(quán)，若在時(shí)有，且，則有</p><p><b>　　(2.9)</b></p><p>　　由于歐式看跌期權(quán)的初始價(jià)值。所以有</p><p><b>　　(2.10

35、)</b></p><p>　　命題2.8：對(duì)同一種股票，同一個(gè)執(zhí)行價(jià)格及同樣到期日且股票在到期日之前不分紅的歐式看漲和看跌期權(quán)價(jià)格有如下關(guān)系：</p><p><b>　　(2.11)</b></p><p>　　介紹了關(guān)于期權(quán)的一些知識(shí)和歐式期權(quán)價(jià)格的性質(zhì)，接下來就要了解期權(quán)定價(jià)的模型。第三章和第四章就是介紹離散型的二叉樹模型和

36、連續(xù)型的Black-Scholes模型。</p><p>　　原理2.1：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，任何依附于股票價(jià)格的衍生證券可以在風(fēng)險(xiǎn)中性世界的基礎(chǔ)上進(jìn)行估值。</p><p>　　這個(gè)原理在期權(quán)定價(jià)中不容忽視，風(fēng)險(xiǎn)中性原理意味著：為了計(jì)算期權(quán)的價(jià)值，我們可以假設(shè)：</p><p>　　(1)所有可交易的證券的期望收益都是無風(fēng)險(xiǎn)利率；</p><p&

37、gt;　　(2)未來現(xiàn)金可以用其期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)來計(jì)算[4]。</p><p><b>　　3 二項(xiàng)式模型</b></p><p>　　3.1 二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型介紹</p><p>　　二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型最早由考克斯(Cox)、羅斯(Ross)和魯賓斯坦(Rubinstein)提出的一種期權(quán)定價(jià)模型，主要用于計(jì)算美式期權(quán)的價(jià)值。其優(yōu)點(diǎn)在

38、于比較直觀簡(jiǎn)單，不需要太多數(shù)學(xué)知識(shí)就可以加以應(yīng)用。</p><p>　　二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)波動(dòng)只有向上和向下兩個(gè)方向，且假設(shè)在整個(gè)考察期內(nèi)，股價(jià)每次向上(或向下)波動(dòng)的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率模擬出該股在整個(gè)存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑，并對(duì)每一路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算權(quán)證行權(quán)收益和用貼現(xiàn)法計(jì)算出的權(quán)證價(jià)格。</p><p>　　3.2 歐式期

39、權(quán)定價(jià)模型</p><p>　　二叉樹模型的假設(shè)條件[5]</p><p>　　(1).股票市場(chǎng)是有效的；</p><p>　　(2).存在著股票的賣空機(jī)制，但不存在套利機(jī)會(huì)；</p><p>　　(3).股票和期權(quán)合約的買賣不設(shè)計(jì)交易成本、也不考慮稅收；</p><p>　　(4).市場(chǎng)參與者可按已知的無風(fēng)險(xiǎn)利率無限

40、制地借入借出資金；</p><p>　　(5).無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)；</p><p>　　(6).金融市場(chǎng)上的投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中立者；</p><p>　　(7).假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格在離散的或不連續(xù)的時(shí)間內(nèi)服從一個(gè)倍增的二項(xiàng)式過程。</p><p>　　3.2.1 一期模型的歐式看漲期權(quán)定價(jià)</p><p>　　為簡(jiǎn)單

41、起見，假設(shè)不存在交易費(fèi)用、稅收等成本，還假設(shè)資本市場(chǎng)上存在一種無風(fēng)險(xiǎn)證券(債權(quán))，人們可以用無風(fēng)險(xiǎn)利率不受限制地借或貸。因?yàn)楣善钡膬r(jià)格下一期的股價(jià)只有兩種可能的狀態(tài)：上升或下降，而且可能上升到的概率為，下降到的概率為。其中。所以的運(yùn)動(dòng)如圖1所示：</p><p>　　圖1 股票價(jià)格的一期運(yùn)動(dòng)</p><p>　　一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為的歐式看漲期權(quán)在時(shí)，以的概率取，的概率取。記這個(gè)期權(quán)在的價(jià)格。

42、</p><p>　　命題3.1：股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)一期的情況下,期權(quán)在的價(jià)格為</p><p>　　證明：構(gòu)造一個(gè)在的總投資為的投資組合，在期權(quán)到日，它以概率取值，以概率取值。</p><p>　　選擇使得這個(gè)投資組合在的兩種狀態(tài)下取值相等，即</p><p><b>　　由此解出</b></p><p&

43、gt;<b>　　(3.1)</b></p><p>　　為了不存在套利機(jī)會(huì)，這個(gè)投資組合的期初投資在時(shí)的價(jià)值必須等于</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　由此解</b></p><p><b>　　(3.2)</b><

44、;/p><p>　　式(3.2)可改寫為</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p><b>　　如記：</b></p><p><b>　　(3.4)</b></p><p>　　則式(3.3)可記為</p><p&

45、gt;<b>　　(3.5)</b></p><p>　　由命題3.1中的式(3.4)知道：及，從而可把看做一個(gè)概率分布，稱它為風(fēng)險(xiǎn)中性(Risk Neutral)概率或?qū)_概率(Hedging Probablity)，從而式(3.5)可改寫為</p><p>　　其中是指按風(fēng)險(xiǎn)中性概率，而不是按實(shí)際概率計(jì)算的數(shù)學(xué)期望。從形式上看，以“概率”取，以“概率” 取。這里概

46、率打引號(hào)意指和不是實(shí)際概率，是一個(gè)人為的概率。一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者對(duì)在任何股票上投資要求的期望回報(bào)率都為無風(fēng)險(xiǎn)利率，所以在這種情況下風(fēng)險(xiǎn)中性投資者認(rèn)為就是股票從上升到的概率。這就是為什么把稱為風(fēng)險(xiǎn)中性概率的原因。</p><p>　　這個(gè)證明過程對(duì)歐式看跌期權(quán)也成立。因此當(dāng)股價(jià)運(yùn)動(dòng)模式如圖1所示，歐式看跌期權(quán)在時(shí)的價(jià)值</p><p><b>　　(3.6)</b>&

47、lt;/p><p>　　式中：；；由式(3.4)給出。</p><p>　　3.2.2 二期模型的歐式看漲期權(quán)定價(jià)</p><p>　　接下來考慮的是二期問題，在時(shí)刻時(shí)，股價(jià)以概率上升到，以概率下降到。在時(shí)刻，又在的基礎(chǔ)上分別以概率和上升和下降。二期股價(jià)運(yùn)動(dòng)的二項(xiàng)式模式如圖2所示。</p><p>　　圖1 股票價(jià)格的二期運(yùn)動(dòng)</p&g

48、t;<p>　　命題3.2：股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)二期的情況下,期權(quán)在的價(jià)格為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　證明：假設(shè)每一期的無風(fēng)險(xiǎn)利率都是。在得知二期期權(quán)價(jià)格、和，利用一期的評(píng)價(jià)公式來求出和，則有：</p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>

49、;<b>　　(3.8)</b></p><p>　　其中和是式(3.4)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率。再用一次一期的評(píng)價(jià)公式，就推得在時(shí)期權(quán)的價(jià)值</p><p><b>　　. </b></p><p>　　把式(3.7) (3.8)代入上式，得</p><p><b>　　(3.9)<

50、;/b></p><p>　　注意：命題3.2的證明過程中的式 (3.10)右邊方括號(hào)內(nèi)的系數(shù)正好滿足,故如果把，和分別看成取值在，和的概率，則式(3.10)也可以改寫成為</p><p>　　其中數(shù)學(xué)期望是按風(fēng)險(xiǎn)中性概率分布[，，]計(jì)算的。</p><p>　　和一期模型一樣，此推導(dǎo)過程對(duì)二期歐式看跌期權(quán)定價(jià)也同樣合適，歐式看跌期權(quán)在時(shí)的價(jià)值</

51、p><p><b>　　(3.10)</b></p><p>　　式中：；；，由式(3.4)給出。</p><p>　　3.2.3 多期二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)公式</p><p>　　在了解了一期和二期二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)公式，現(xiàn)在來推廣到期的情形。</p><p>　　命題3.3：股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)期的情況下,期權(quán)在

52、的價(jià)格為</p><p>　　證明：設(shè)在期內(nèi)股價(jià)上升次(從而下降了次)，則最終股價(jià)為，從而在期權(quán)的價(jià)值為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　一個(gè)有二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，取的概率為，取的概率為,則取值的概率為</p><p><b>　　,</b></p><

53、;p>　　其中為風(fēng)險(xiǎn)中性概率，參見式(3.4)。</p><p>　　由于可取值0，1，2，…，T,所以期權(quán)的期望價(jià)值為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由風(fēng)險(xiǎn)中性評(píng)價(jià)公式，得期權(quán)在時(shí)的價(jià)值</p><p><b>　　(3.11)</b></p>&

54、lt;p>　　命題3.3的證明過程中(3.11)式比較復(fù)雜，所以要對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，令為使得的最小正整數(shù)，則當(dāng)，，從而式(3.11)可以改寫為</p><p><b>　　(3.12)</b></p><p><b>　　如記</b></p><p><b>　　，，</b></p>

55、<p><b>　　則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而(3.12)可寫成為</p><p><b>　　(3.13)</b></p><p>　　這就是期二項(xiàng)式模型歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式[6]。</p><

56、p>　　4 Black-Scholes模型</p><p>　　4.1 股票價(jià)格的行為模式</p><p>　　在第三章我們討論了期權(quán)的離散模型，它只是假設(shè)股價(jià)在離散的時(shí)點(diǎn)上才發(fā)生變化沒，而且每次變化只能取兩個(gè)可能的狀態(tài)之一。接下來的這部分就要考慮期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型，即考慮時(shí)間和股價(jià)都是連續(xù)的。在本節(jié)，我們將提供一種循序漸進(jìn)的方法去了解股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程。</p>

57、<p>　　定義4.1：馬爾可夫過程，是一種說明只有變量的當(dāng)前值和未來的預(yù)測(cè)有關(guān)的隨機(jī)過程。</p><p>　　人們通常假設(shè)股票價(jià)格遵循馬爾可夫過程，所以股票價(jià)格行為模型通常采用馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式，即維納過程來表達(dá)，也稱布朗運(yùn)動(dòng)。</p><p>　　我們要理解遵循Wiener過程的變量的行為，可以考慮在小時(shí)間間隔上變量值的變化。</p><

58、p>　　定義4.2：設(shè)一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度為，定義為在時(shí)間內(nèi)的變化。要使遵循Wiener過程，必須滿足:</p><p>　　(1):與的關(guān)系滿足方程式</p><p><b>　　(4.1)</b></p><p>　　其中為從N(0，l)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)值。</p><p>　　(2):對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間

59、間隔，的值相互獨(dú)立。</p><p>　　從定義4.2中可以看出本身具有正態(tài)分布，即的均值=，的方差=.</p><p>　　變量的一般化Wiener過程用定義如下: </p><p><b>　　(4.2)</b></p><p>　　其中，為常數(shù)。方程(4.2)給出的一般性Wiener過程其漂移率的期望值為，方

60、差率的期望值為。</p><p>　　但是股票期權(quán)的價(jià)格是該標(biāo)的股票價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)。更一般地，我們可以說任何一個(gè)衍生證券的價(jià)格都是這些標(biāo)的衍生債券的隨機(jī)變量和時(shí)間的函數(shù)。所有任何研究衍生證券的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)者都必須對(duì)隨機(jī)變量函數(shù)的行為有所了解，在這一領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)重要結(jié)論由一個(gè)叫K.Ito的數(shù)學(xué)家在1951年發(fā)現(xiàn)。因此稱為Ito定理。</p><p>　　定理4.1：假設(shè)變量的值遵循Ito過程：&

61、lt;/p><p><b>　　(4.3)</b></p><p>　　其中是一個(gè)維納過程，和是和的函數(shù)。變量的漂移率為和方差率為.Ito定理表明和的函數(shù)遵循如下過程：</p><p><b>　　(4.4)</b></p><p>　　由于是維納過程，所以也遵循Ito過程。</p>&l

62、t;p><b>　　4.2 歷史回顧</b></p><p>　　1990年Louis Bachelier發(fā)表了他的學(xué)位論文“投機(jī)交易理論”，在論文中首次利用隨機(jī)游動(dòng)的思想給出了股票價(jià)格運(yùn)行的隨機(jī)模型，在這篇論文中，他提到了期權(quán)定價(jià)問題。1964年P(guān)aul Samuelson對(duì)L.Bachelier的模型進(jìn)行了修正。以股票的回報(bào)代替原模型中的股票價(jià)格。若表示股票價(jià)格，那么表示股票的回

63、報(bào)，P.Samuelson提出的隨機(jī)微分方程是 </p><p><b>　　(4.5)</b></p><p>　　這個(gè)模型克服了原先模型中可能使股票價(jià)格出現(xiàn)負(fù)值的不合理情況。</p><p>　　基于這個(gè)模型，P.Samuelson還研究了看漲期權(quán)的定價(jià)問題，可表述為：</p><p>　　設(shè)是看漲期權(quán)的期權(quán)

64、金，是股價(jià)，是敲定價(jià)，是到期時(shí)間，則</p><p><b>　　(4.6)</b></p><p>　　其中 </p><p><b>　　(4.7)</b></p><p>　　這里，分別是原生資產(chǎn)價(jià)格 和期權(quán)的價(jià)格的回報(bào)在時(shí)刻的期望值。這兩個(gè)量依賴于投資

65、人的個(gè)人愛好，所以美足不足的是它在實(shí)際交易中不能運(yùn)用。</p><p>　　1973年Fischer Black和Myron Scholes建立了看漲期權(quán)定價(jià)公式</p><p><b>　　(4.8)</b></p><p>　　和公式比較，這里用無風(fēng)險(xiǎn)利率代替了，，創(chuàng)新之處在于不依賴于投資人的偏好，因此他們獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。</p&

66、gt;<p>　　4.3 Black-Scholes方程</p><p><b>　　基本假設(shè):</b></p><p>　　(1).原生資產(chǎn)價(jià)格演化遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng)</p><p><b>　　(4.9)</b></p><p>　　(2).無風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)且對(duì)所有到期日都相

67、同。</p><p>　　(3).原生資產(chǎn)不支持股息。</p><p>　　(4).不支付交易費(fèi)和稅收。</p><p>　　(5).不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。</p><p>　　(6).允許使用全部所得賣空衍生證券。</p><p>　　(7).證券交易是連續(xù)的。</p><p>　　(8).在

68、衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付。</p><p>　　命題4.1：Black-Scholes方程為。</p><p>　　證明：設(shè)是歐式看漲期權(quán)價(jià)格，它在期權(quán)的到期日時(shí)，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這里是期權(quán)的敲定價(jià)，現(xiàn)在要求期權(quán)在有效時(shí)間內(nèi)的價(jià)值。</p><p&g

69、t;　　利用對(duì)沖技巧，我們給出歐式期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型。</p><p><b>　　形成投資組合</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　(是原生資產(chǎn)的份額)，選取適當(dāng)?shù)氖沟迷跁r(shí)段內(nèi)，是無風(fēng)險(xiǎn)的。</p><p>　　設(shè)在時(shí)刻形成投資組合，并在時(shí)間段內(nèi)，不改變份額。那么由

70、于是無風(fēng)險(xiǎn)的，因此在時(shí)刻，投資組合的回報(bào)是</p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　(4.10)</b></p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　，</b></p><p&

71、gt;　　其中是由隨機(jī)微分方程(4.9)確定的方程，因此有Ito公式</p><p><b>　　.</b></p><p>　　把它代入式(4.10)得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　(4.11)</b></p><p

72、>　　由于等式右端是無風(fēng)險(xiǎn)的，由此等式左端隨機(jī)項(xiàng)的系數(shù)必為0，即選取</p><p><b>　　(4.12)</b></p><p>　　把它帶入式(4.11)，并消去得到</p><p>　　這就是刻畫歐式看漲期權(quán)價(jià)格變化的偏微分方程——Black-Scholes方程。</p><p>　　4.4 Black

73、-Scholes公式(歐式看漲期權(quán)的定價(jià))</p><p>　　命題4.2：Black-Scholes公式為。</p><p>　　證明：為了確定在合約有效期內(nèi)[0,T]內(nèi)期權(quán)的價(jià)值，就是要在區(qū)域</p><p><b>　　上求解定解問題：</b></p><p><b>　　(4.13)</b>

74、</p><p><b>　　(4.14)</b></p><p><b>　　作自變數(shù)代換</b></p><p><b>　　(4.15)</b></p><p>　　定解問題(4.13)(4.14)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程Cauchy問題(初值問題)：</p>

75、<p><b>　　(4.16)</b></p><p><b>　　(4.17)</b></p><p><b>　　求解：做函數(shù)變換：</b></p><p><b>　　(4.18)</b></p><p><b>　　因?yàn)?l

76、t;/b></p><p><b>　　代入(4.16)</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　取</b></p><p><b>　　，.</b></p><p><b>　　

77、則(4.16)變?yōu)?lt;/b></p><p><b>　　(4.19)</b></p><p><b>　　相應(yīng)的初始值為：</b></p><p><b>　　(4.20)</b></p><p>　　令 </p><p>

78、　　其中為初值，為方程(4.19)的基本解。</p><p>　　則 (4.19) (4.20)表示為 </p><p>　　通過以上的變換可以得到：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b&

79、gt;　　令</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　

80、，，</b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　同理得 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　由變換(4.15)

81、回到原變量有</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　(4.21)</b></p><p><b>　　(4.22)</b></p><p>　　得到歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為</p><p><b>　　(4.23)

82、</b></p><p>　　根據(jù)命題4.3的證明過程同樣可得歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：</p><p><b>　　(4.24)</b></p><p>　　這就是Black-Scholes公式。</p><p>　　4.5 二項(xiàng)式模型和Black-Scholes的模型的關(guān)系</p><

83、p>　　介紹這兩個(gè)模型之間的關(guān)系，也就是介紹他們之間參數(shù)的關(guān)系。</p><p>　　對(duì)應(yīng)與時(shí)間間隔內(nèi)股票價(jià)格變化的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，參數(shù)，和必須給出相應(yīng)的正確值。由于處于風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，所以股票的期望收益是無風(fēng)險(xiǎn)利率。因此在時(shí)間間隔段末的股票期望值為，其中為該時(shí)間間隔段初始股票價(jià)格，因此：</p><p><b>　　(4.25)</b></p>

84、<p><b>　　(4.26)</b></p><p>　　在一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)股票價(jià)格的方差是，則</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　(4.27)</b></p><p>　　Cox，Ross和Rubinstein用的第三個(gè)常用的條件

85、是：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則通過以上的式子可得出：</p><p><b>　　(4.28)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　因此，只要估計(jì)出股票回報(bào)率的波動(dòng)度，就可以求出與之

86、相匹配的二項(xiàng)式模型中的，和[7][8].</p><p>　　5 歐式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法</p><p>　　在以上兩章內(nèi)容中重點(diǎn)介紹了歐式期權(quán)定價(jià)的兩種模型以及兩種模型之間的關(guān)系，但是在實(shí)際應(yīng)用中我們掌握這兩種模型是不夠的，他們都只是給出了歐式期權(quán)的顯式解，而其他期權(quán)諸如美式期權(quán)的定價(jià)沒有顯式解，所以接下的這一章內(nèi)容將介紹期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法，當(dāng)然對(duì)歐式期權(quán)定價(jià)同樣適用。這章介紹的的數(shù)值

87、方法分別是二叉樹圖方法和有限差分法。</p><p>　　5.1 二項(xiàng)式模型的數(shù)值計(jì)算</p><p>　　5.1.1 二叉樹圖方法</p><p>　　利用單步和兩步二叉樹圖模型去說明二項(xiàng)式模型是如何對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行估值不太符合現(xiàn)實(shí)，所以只能用來說明概念，現(xiàn)實(shí)的模型就是假設(shè)股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的。</p><p>　

88、　使用二叉樹圖模型時(shí)的股票價(jià)格完整數(shù)圖如圖3所示。時(shí)間為零時(shí)，已知股票的價(jià)格為；時(shí)間為時(shí)，股票價(jià)格按照上升比例和下降比例出現(xiàn)兩種可能：和，以此類推，在一般情況下，時(shí)刻，股票價(jià)格有種可能，它們是</p><p><b>　　， </b></p><p>　　期權(quán)的計(jì)算是從數(shù)圖的末端(時(shí)刻T)開始向后倒退進(jìn)行的，即T時(shí)刻的期權(quán)已知。而前面各個(gè)時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格均可以通

89、過，和的值推導(dǎo)出來，這樣我們就能求出零時(shí)刻的期權(quán)值。</p><p>　　圖3 二叉樹圖模型時(shí)的股票價(jià)格完整數(shù)圖</p><p>　　5.1.2 實(shí)例分析</p><p>　　例5.1：2009年10月18日，模擬交易參與者小王認(rèn)為某只3期股票會(huì)上漲，于是決定買看漲期權(quán)，該股票現(xiàn)在市場(chǎng)價(jià)格為100元，執(zhí)行價(jià)為105元，股票的價(jià)格一期只發(fā)生兩個(gè)變動(dòng)，一個(gè)是上漲到1

90、10元，一個(gè)是下降到90元，市場(chǎng)的無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，求該期權(quán)當(dāng)期的理論價(jià)格是多少？</p><p>　　我們首先構(gòu)造一個(gè)既可以反映三期的股票價(jià)格又可以反映三期()的期權(quán)價(jià)格的二叉樹圖(如圖4)。</p><p>　　圖4 三期的股票和三期的期權(quán)價(jià)格二叉樹圖</p><p><b>　　解：由題意得</b></p><p&g

91、t;　　因?yàn)樵撈跈?quán)是看漲期權(quán)，所以當(dāng)T=3時(shí)期權(quán)價(jià)格，</p><p><b>　　由此可求得，，，。</b></p><p>　　由公式(3.5)得當(dāng)時(shí)。</p><p>　　同理得 ，，，，。</p><p>　　所以得到當(dāng)期期權(quán)價(jià)格為。</p><p>　　現(xiàn)在用C語言表示這個(gè)過程(程序見

92、附錄) </p><p><b>　　運(yùn)行程序出現(xiàn)：</b></p><p>　　圖5 C語言程序運(yùn)行的結(jié)果</p><p><b>　　輸入數(shù)據(jù)：</b></p><p>　　圖6 輸入上述要求的值</p><p><b>　　得出結(jié)果：</b>&

93、lt;/p><p>　　圖7 程序運(yùn)行之后各時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格</p><p>　　這個(gè)程序不僅僅是解這道題，程序中的期權(quán)到期時(shí)間，股票零時(shí)刻價(jià)格，利率，股票價(jià)格上升比例，股票價(jià)格下降比例，最后期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，自己可以針對(duì)任何題目輸入相關(guān)數(shù)值得出當(dāng)期的期權(quán)價(jià)格。</p><p>　　在例5.1中我們得知了股票價(jià)格上升比例，股票價(jià)格下降比例，但是在實(shí)際中我們能夠估計(jì)的更多是波

94、動(dòng)率，所以我們來介紹當(dāng)只知道時(shí)期權(quán)的計(jì)算。</p><p>　　例5.2：考慮一個(gè)不付紅利股票的5個(gè)月期歐式看跌期權(quán)，股票價(jià)格為50元，執(zhí)行價(jià)格為50，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10%,波動(dòng)率為每年40%，為構(gòu)造一個(gè)二叉樹，我們把期權(quán)的有效期分為十個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段長(zhǎng)度為半個(gè)月，(=0.0417年)，則，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少？</p><p>　　解：由于期數(shù)較大，手工計(jì)算會(huì)比較麻煩，編寫C語言程序

95、去實(shí)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果(程序見附錄)[9][10]：</p><p><b>　　運(yùn)行程序出現(xiàn)：</b></p><p>　　圖8 C語言程序運(yùn)行的結(jié)果</p><p><b>　　輸入數(shù)據(jù)：</b></p><p>　　圖9 輸入上述要求的值</p><p><b>

96、　　得出結(jié)果：</b></p><p>　　圖10 程序運(yùn)行之后各時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格</p><p>　　由圖可讀出期權(quán)的價(jià)格為。</p><p>　　在取不同的值時(shí)，期權(quán)現(xiàn)值會(huì)有所不同，運(yùn)行結(jié)果如下。</p><p>　　表1 取不同值時(shí)，期權(quán)的現(xiàn)值</p><p>　　從以上表格中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取得越大，

97、離期權(quán)到期日越短，在其他參數(shù)一樣的條件下，離到期日越短的期權(quán)，價(jià)值越小。</p><p>　　5.2 Black-Scholes公式(歐式期權(quán)定價(jià))的數(shù)值計(jì)算</p><p>　　5.2.1 有限差分方法</p><p>　　求解衍生證券所滿足的微分方程，可以用有限差分方法，它的方法就是把微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的差分方程，然后再用迭代法求解這些差分方程。為了說明這

98、種方法，我們考慮用它來估算一個(gè)不付紅利股票的歐式看跌期權(quán)。</p><p><b>　　步驟如下：</b></p><p>　　步驟1：首先確定該期權(quán)滿足的微分方程：</p><p><b>　　(5.1)</b></p><p>　　步驟2：假定期權(quán)的期限為，將這一期限分成個(gè)等間隔，長(zhǎng)度為的時(shí)間區(qū)

99、間?？紤]個(gè)時(shí)間點(diǎn)</p><p>　　步驟3：假定為股票的最高價(jià)格。定義并同時(shí)考慮個(gè)股票價(jià)格</p><p>　　因此，選取的股票價(jià)格和時(shí)間構(gòu)成了一個(gè)共有個(gè)點(diǎn)的網(wǎng)格。網(wǎng)格上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于時(shí)間為，股票價(jià)格為。用變量代表點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格。</p><p>　　步驟4：運(yùn)用有限差分方法中的內(nèi)含差分方法對(duì)上述偏微分方程進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于網(wǎng)格</p><p>　　

100、內(nèi)部的點(diǎn)，可被近似為</p><p><b>　　(5.2)</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　(5.3)</b></p><p>　　被稱為向前差分近似(forward difference approximation)；或稱為向后差

101、分近似(backward difference approximation).將以上兩種差分方程平均，我們可以得出一個(gè)對(duì)稱的差分方程</p><p><b>　　(5.4)</b></p><p>　　對(duì)于，采用向前差分近似使得時(shí)刻的價(jià)格與的價(jià)格發(fā)生關(guān)聯(lián)</p><p><b>　　(5.5)</b></p>

102、<p><b>　　在點(diǎn)的向后差分近似</b></p><p>　　在點(diǎn)，對(duì)的有限差分近似為</p><p><b>　　(5.6)</b></p><p>　　步驟5：將上面多式結(jié)合，且，得</p><p><b>　　(5.7)</b></p>&

103、lt;p>　　其中 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　經(jīng)過合并得： </p><p><b>　　(5.8)</b></p><p><b>　　(5.9)</b></p>

104、;<p>　　時(shí)刻看跌期權(quán)的價(jià)值為，其中為時(shí)刻的股票價(jià)格，因此：</p><p><b>　　(5.10)</b></p><p>　　當(dāng)股票價(jià)格為零時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值為，因此：</p><p><b>　　(5.11)</b></p><p>　　當(dāng)股票價(jià)格趨于無窮大時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)

105、值是趨于零。因此用近似值</p><p><b>　　(5.12)</b></p><p>　　(5.11)(5.12)和(5.10)式定義了三個(gè)邊界(即和)的看跌期權(quán)值，還需用(5.8)式來求出左邊界的值，其中的一個(gè)格點(diǎn)就是我們所要求的期權(quán)值。利用(5.8)和邊界條件，可以寫出時(shí)刻的個(gè)聯(lián)立方程：</p><p><b>　　(5.1

106、3)</b></p><p>　　且 </p><p>　　因此解出每個(gè)的值，依次類推，最后可計(jì)算出，當(dāng)?shù)扔诔跏假Y產(chǎn)價(jià)格時(shí)，該格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是所要求的期權(quán)價(jià)值。</p><p>　　對(duì)內(nèi)含有限差分方法略加修改，使用外推外推有限差分方法假設(shè)點(diǎn)處的和與處的對(duì)應(yīng)值相等，即</p><p&

107、gt;<b>　　(5.14)</b></p><p><b>　　(5.15)</b></p><p>　　相應(yīng)的差分方程修改為：</p><p><b>　　(5.16)</b></p><p><b>　　其中</b></p><

108、p><b>　　(5.17)</b></p><p>　　此即顯性的有限差分方程[11]。</p><p>　　內(nèi)含和外推有限差分方法在期權(quán)定價(jià)中的優(yōu)勢(shì)主要在于：當(dāng)格點(diǎn)有規(guī)律很均勻時(shí)，把一個(gè)偏微分方程化成差分方程式相對(duì)比較簡(jiǎn)單的。而內(nèi)含和外推兩種方法各有優(yōu)劣。外推方法計(jì)算比較直接方便，無需像內(nèi)含方法那樣需要求解大量的聯(lián)立方程，工作量小，易于應(yīng)用。而外推方法卻存在

109、一個(gè)缺陷：它的三個(gè)概率可能小于零，這導(dǎo)致了這種方法的不穩(wěn)定，它的解有可能不收斂于偏微分方程的解。而下文所提供的Crank-Nicolson差分格式則是求這兩種方法的平均值。內(nèi)含的有限差分方程(5.8)給出：</p><p>　　外推的有限差分方程(5.16)給出:</p><p>　　將這兩個(gè)方程式進(jìn)行平均，得到：</p><p><b>　　(5.18)

110、</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　我們得到</b></p><p><b>　　(5.19)</b></p><p>　　這說明使用Cr

111、ank-Nicolson類似于使用內(nèi)含有限差分方法。Crank-Nicolson方法的優(yōu)點(diǎn)是它比內(nèi)含的和外推的有限差分方法收斂更快。</p><p>　　5.2.2 實(shí)例分析</p><p>　　例5.3：考慮一個(gè)不付紅利股票的5個(gè)月期歐式看跌期權(quán)，股票價(jià)格為50元，執(zhí)行價(jià)格為50元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10%,波動(dòng)率為每年40%，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少？</p><p>

112、;　　這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的例子，如果運(yùn)用Black-Scholes公式計(jì)算就可以得出一個(gè)數(shù)值，但顯然有更好的方法去解決，用計(jì)算機(jī)語言把內(nèi)含差分方法描述出來，從而通過計(jì)算機(jī)解除這個(gè)歐式看跌期權(quán)的值。</p><p>　　解：令、和的值分別取20，10和5，根據(jù)已知的</p><p><b>　　,, </b></p><p><b>　　.

113、</b></p><p>　　根據(jù)以上數(shù)值編寫出matlab程序語言(程序見附錄)[12][13]</p><p><b>　　按要求輸入數(shù)值：</b></p><p>　　圖11 輸入程序已知的值</p><p>　　圖12 得出的各個(gè)時(shí)刻期權(quán)價(jià)格的值</p><p>　　從圖就

114、可以讀出該歐式看跌期權(quán)現(xiàn)值為3.9113元。</p><p>　　用Black-Scholes公式求出來的期權(quán)價(jià)格是4.08元，但是發(fā)現(xiàn)這兩者之間的差距還是有點(diǎn)大的，所以有必要繼續(xù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)列出實(shí)驗(yàn)過程中、和取不同值時(shí)所得出的期權(quán)價(jià)格。</p><p>　　表2 不同、和的值，期權(quán)的不同價(jià)格</p><p>　　從上表中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)一定時(shí)，越大得出的更接近于真實(shí)值

115、，當(dāng)一定，越大，同樣的得出的更接近真實(shí)值，說明當(dāng)期權(quán)的期數(shù)分的越多，股票價(jià)格上漲速度越慢，即步長(zhǎng)取的越小時(shí)，得到的結(jié)果就越接近真實(shí)值。</p><p>　　用計(jì)算機(jī)語言繪制看跌期權(quán)在各個(gè)時(shí)期的期權(quán)價(jià)格(程序見附錄)</p><p>　　運(yùn)行程序輸入：plot33</p><p>　　得出各期期權(quán)價(jià)格的圖如下：</p><p>　　圖13 描

116、述期權(quán)價(jià)格的圖</p><p>　　可以看出用數(shù)值方法求解期權(quán)價(jià)格方便簡(jiǎn)單，而且當(dāng)改變初始值時(shí)，我們?nèi)匀豢梢岳眠@個(gè)計(jì)算機(jī)語言求出我們要求的當(dāng)期的期權(quán)價(jià)值，而不需要套用Black-Scholes公式去求我們想要的結(jié)果，而且這個(gè)程序可以求出各個(gè)時(shí)間段的期權(quán)值，即網(wǎng)格上的點(diǎn)都可以求出來，也許對(duì)于歐式期權(quán)沒有意義不大，但求美式期權(quán)價(jià)格時(shí)，求出這些全部的值就相當(dāng)有意義了，所以這種方法在現(xiàn)階段中對(duì)求期權(quán)價(jià)格是相當(dāng)有用的[1

117、4]。</p><p><b>　　6 總結(jié)</b></p><p><b>　　6.1 本文結(jié)論</b></p><p>　　本文探討了兩種期權(quán)定價(jià)模型，并得出了兩種模型下歐式期權(quán)的定價(jià)公式。</p><p><b>　　1、二項(xiàng)式模型</b></p>&l

118、t;p>　　(1)一期二項(xiàng)式模型的看漲期權(quán)定價(jià)公式為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　(2)二期二項(xiàng)式模型的看漲期權(quán)定價(jià)公式為：</p><p>　　(3)期二項(xiàng)式模型的看漲期權(quán)定價(jià)公式為：</p><p>　　2、Black-Scholes模型</p><p>

119、;　　Black-Scholes模型的看漲期權(quán)定價(jià)公式為：。</p><p>　　由于兩種模型的定價(jià)公式都是求的歐式期權(quán)定價(jià)的顯式解，但現(xiàn)實(shí)中有很多期權(quán)的值都只能求近似解，求不出精確解，且不能用上述兩種模型計(jì)算，所以就需要用到數(shù)值計(jì)算方法去求近似解。本文討論的兩種數(shù)值方法的優(yōu)缺點(diǎn)如下。</p><p><b>　　1、二叉樹圖法：</b></p><

120、;p>　　(1)二叉樹圖方法假設(shè)在每個(gè)小的時(shí)間間隔內(nèi)，股票價(jià)格或者按比例上升，或者按比例下降。的大小和相應(yīng)的概率經(jīng)過仔細(xì)的選擇后，可使股票價(jià)格的變化在風(fēng)險(xiǎn)中性的變化在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中具有正確的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。從二叉樹圖的末端開始倒退可以計(jì)算出期權(quán)的價(jià)格，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，需要的參數(shù)較少。</p><p>　　(2)但是，當(dāng)最終的盈虧狀態(tài)依賴于狀態(tài)變量的過去歷史以及它們的當(dāng)前值時(shí)，應(yīng)用此方法有很大的困難。并且，當(dāng)包括

121、三個(gè)或更多變量時(shí)，計(jì)算量相當(dāng)大。</p><p>　　(3)根據(jù)二項(xiàng)式模型和Black-Scholes模型的關(guān)系，知道股票回報(bào)率的波動(dòng)率，就可以計(jì)算出和相應(yīng)的概率，由于這三個(gè)參數(shù)的選取難度較大，而估算波動(dòng)率相對(duì)簡(jiǎn)單，所以在實(shí)際計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)已知波動(dòng)率會(huì)比較好求。</p><p>　　(4) 當(dāng)取得越大，離期權(quán)到期日越短，在其他參數(shù)一樣的條件下，離到期日越短的期權(quán)，價(jià)值越小。</p&g

122、t;<p><b>　　2、有限差分法：</b></p><p>　　(1)有限差分法將標(biāo)的變量的微分方程轉(zhuǎn)換成差分方程來求解，運(yùn)用計(jì)算機(jī)語言描述，結(jié)合了計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的運(yùn)用，為計(jì)算期權(quán)價(jià)格提供了更大的方便。</p><p>　　(2)類似二叉樹圖方法，有限差分法的計(jì)算是從期權(quán)有效期的最后時(shí)刻開始，倒退回到期權(quán)有效期的初始時(shí)刻。同樣涉及的參數(shù)也較少，計(jì)算比

123、較簡(jiǎn)單。</p><p>　　(3)在運(yùn)用有限差分法時(shí)，要取不同的步長(zhǎng)去求得最好的期權(quán)價(jià)格值，發(fā)現(xiàn)當(dāng)步長(zhǎng)取得越小時(shí)，得出的期權(quán)價(jià)格越接近實(shí)際的期權(quán)價(jià)格。</p><p>　　(4)內(nèi)含的有限差分法在于它很有效，相對(duì)外推有限差分方法不必為保證收斂性而進(jìn)行任何特定的事先假設(shè)，但是它比外推方法復(fù)雜，需要求大量的的聯(lián)立方程來求得最后的結(jié)果。而Crank-Nicolson差分法的最大優(yōu)點(diǎn)就是它比內(nèi)含

124、的和外推的有限差分方法收斂更快。</p><p><b>　　6.2 展望未來</b></p><p>　　本文開始介紹的兩種模型都能求出歐式期權(quán)的精確解，但是卻不能求出其他期權(quán)的數(shù)值解，所以需要深入研究數(shù)值方法以便其他期權(quán)價(jià)格的求解，現(xiàn)在求期權(quán)價(jià)價(jià)格的數(shù)值方法有二叉樹圖法、三叉樹圖法、蒙特卡羅模擬法和有限差分法。但是每種差分法還沒能夠求出所有期權(quán)的精確解，所以數(shù)值

125、方法要進(jìn)行更加深入的研究。</p><p>　　致 謝</p><p>　　首先我很感謝我的論文指導(dǎo)老師xxx副教授，這篇論文是在他的悉心指導(dǎo)和督促中完成的，郭老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度、淵博的知識(shí)讓我感覺我很榮幸的稱為他指導(dǎo)的學(xué)生，在論文創(chuàng)作過程中遇到了一些挫折，一度引起懶惰停滯不前，但是郭老師認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度讓我感到自己完全沒有盡到應(yīng)有的責(zé)任，于是我又重新拾起信心最終完成了這篇論文

126、，在此我由衷的感謝郭老師對(duì)我的指導(dǎo)。</p><p>　　接著我得感謝在這四年中教過我的每一個(gè)老師和朝夕相處的同學(xué)，是你們教會(huì)了我很多知識(shí)，讓我能夠在論文中學(xué)以致用，而且我相信他們所教的一定會(huì)對(duì)我今后產(chǎn)生很大的影響，不僅僅是課本中的知識(shí)，還有治學(xué)的態(tài)度和做人的道理。</p><p>　　最后要感謝的就是我所有的家人，讓我有機(jī)會(huì)完成我的大學(xué)深造，更在我每次碰到困難的時(shí)候在背后默默的鼓勵(lì)我，激