數(shù)學建模論文-基于差分方程的人口預測模型

1、<p>　　基于差分方程的人口預測模型</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文針對我國人口增長中出現(xiàn)的新特點，建立了兩個符合實際情況的預測模型。</p><p>　　模型一：基于Logistic模型，建立了含市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口相互流動關系的微分方程模型，求得全國總人口數(shù)在短期內將持續(xù)增長，到2010年、2020

2、年分別為13.59億和14.44億，具有較好的中短期預測效果。</p><p>　　模型二：從年齡轉移與總和生育率出發(fā)，建立了離散型人口發(fā)展模型。</p><p>　　針對性別比例，引入女性比例轉移矩陣，利用計算機進行隨機模擬，建立起動態(tài)的女性比例轉移矩陣；</p><p>　　針對人口遷移，引入人口遷移率矩陣，將遷移率標準化后利用平均遷移率實現(xiàn)了對遷移人數(shù)的預測；

3、</p><p>　　針對死亡率，利用分段加權法估計其隨時間的變化，得到了較好的預測結果；</p><p>　　針對老齡化和出生高峰，將其轉化為育齡婦女占總人口的比例，實現(xiàn)了量化預測。</p><p>　　綜合考慮上述因素，利用MATLAB編程求解，全國總人口將呈現(xiàn)短期增加、中期平穩(wěn)、長期緩慢下降的趨勢。其中總人口在2010年、2020年將分別達到13.63億和14

4、.57億人；在2039年將達到人口高峰14.65億人，性別比逐步逼近46.7％，69歲以上人口將超過4億人，占總人口的27.48％。</p><p>　　模型一需要的原始數(shù)據(jù)少，操作簡單，適合于中短期預測，但長期預測效果不佳；模型二綜合考慮了各因素，對中短期和長期均有較好的預測效果，但所需數(shù)據(jù)量大，操作較為復雜。</p><p>　　關鍵字 Logistic模型 人口發(fā)展模型

5、轉移矩陣 計算機模擬 遷移率</p><p><b>　　問題重述</b></p><p>　　人口預測是國家工作中的重點，關系著國家的發(fā)展方向和命運。我國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學建模的方法，對我國人口做出分析和預測是一個重要問題。</p><p>　　近年來我國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新

6、的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著我國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》對此做出了進一步的分析。</p><p>　　從我國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考相關數(shù)據(jù)，建立我國人口增長的數(shù)學模型，并由此對我國人口增長的中短期和長期趨勢做出預測；特別注意指出模型中的優(yōu)點與不足之處。</p><p><

7、;b>　　問題分析</b></p><p>　　一個社會（國家、省市、地區(qū)）人口的變化和隨時間的發(fā)展過程，是由很多因素決定的，社會制度、自然環(huán)境、生活水平、科學文化水平、戰(zhàn)爭、自然災害和移民等等，都能嚴重地影響社會人口的發(fā)展過程。然而，嬰兒的出生、人口的死亡、居民的遷移卻是決定該社會人口變化的直接原因，近年來我國人口發(fā)展出現(xiàn)的一些新特點，如老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)

8、化等因素，都直接或間接地通過這三個現(xiàn)象表現(xiàn)出來。綜合考慮這些因素成為構建符合我國國情的人口增長模型關鍵。</p><p>　　建立模型對人口發(fā)展過程進行定量預測，就是根據(jù)現(xiàn)有的人口統(tǒng)計資料和原始數(shù)據(jù)，從當前實際的人口狀況出發(fā)，并對未來的人口發(fā)展過程，提出合理的控制要求和假定，應用科學的方法，預測出未來幾年、幾十年甚至上百年的人口發(fā)展趨勢，包括人口總數(shù)、人口的性別、年齡和城鄉(xiāng)結構，人口出生、死亡和自然增長率的變化以

9、及在未來的人口構成中勞力和撫養(yǎng)水平及老化水平等。</p><p><b>　　模型假設</b></p><p>　　針對本問題，建立如下合理的假設：</p><p>　　題中所給數(shù)據(jù)能反映我國人口變化的基本情況；</p><p>　　一些重大事件，如戰(zhàn)爭、自然災害等對人口預測的影響暫不考慮；</p><

10、;p>　　所給數(shù)據(jù)都是年末數(shù)據(jù)，也即下一年年初數(shù)據(jù)，如2001年總人口實質上也表示2002年初的總人口；</p><p>　　今年所統(tǒng)計的歲的人口在下一年年初均為歲；</p><p>　　生育模式不隨時間變化。</p><p><b>　　符號說明</b></p><p><b>　　模型建立與求解<

11、;/b></p><p><b>　　數(shù)據(jù)預處理</b></p><p>　　題中所給5年我國人口1%調查數(shù)據(jù)是對人口的抽樣調查數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)的不完備性，并不能由它來估計當時的全國總人口數(shù)。但基于抽樣調查的等概率性，可以認為它所反應的市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)三個地區(qū)的人口比例及男女比例是與實際較為接近的。從《中國人口統(tǒng)計年鑒2006》可以得到2001~2005年具體的全國總人

12、口數(shù)。進而可以得到各部分人口數(shù)。所得數(shù)據(jù)見表1。</p><p><b>　　例：</b></p><p>　　表 1 5年間各部分人口數(shù)</p><p>　　模型一：基于人口遷移的Logistic阻滯增長模型</p><p><b>　　模型建立：</b></p><p&

13、gt;　　考慮單一地區(qū)只受自然資源和環(huán)境條件限制的Logistic阻滯增長模型：</p><p>　　其中為固有增長率。分別表示第年的人口數(shù)和此條件限制下的最大人口容量。因子體現(xiàn)了人口自身的增長趨勢，因子則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對人口增長的阻滯作用，人口增長是兩個因子共同作用的結果。</p><p>　　現(xiàn)在考慮市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)三個地區(qū)的總人口變化規(guī)律，假定在一段時期內，這三個地區(qū)各自均處于穩(wěn)定狀態(tài)，

14、出生率和死亡率都沒有太大變化。然而居民在三個地區(qū)間的遷移會對總人口產生一定的影響。對原Logistic模型進行修改，得到多地區(qū)條件下的改進模型： </p><p>　　其中分別表示市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)這三個地區(qū)，是遷移系數(shù)，正數(shù)時表示遷入，負數(shù)時表示遷出。體現(xiàn)了居民從地區(qū)遷到地區(qū)時對地區(qū)人口增長的影響。</p><p>　　為求解此方程，不失一般性的取，則原微分方程組化為差分方程組：</p&g

15、t;<p><b>　　模型求解：</b></p><p><b>　　求解</b></p><p>　　考慮到育齡婦女生育率信息的殘缺，用年齡為的育齡期婦女占總人口的比例與對應每個年齡生育率的乘積和來表示年的出生率。</p><p>　　取,可得到市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的固有增長率： </p><p

16、><b>　　求解</b></p><p>　　由經驗公式，其中，為世界人口固有增長率，可得2001年各地區(qū)最大人口容量（單位：萬人）：。</p><p><b>　　求解</b></p><p>　　為求解，把2002年和2001年的數(shù)據(jù)都帶入阻滯增長模型，聯(lián)合以下三個遷入遷出方程可解遷移系數(shù)。（見表２）</

17、p><p>　　表 2 遷移系數(shù)</p><p><b>　　求解</b></p><p>　　由所求得的系數(shù)，把2001年作為初始年，用MATLAB求解可得以后各年全國總人口數(shù)：</p><p>　　表 3 模型一對全國總人口數(shù)的預測</p><p><b>　　模型分析：<

18、;/b></p><p><b>　　結果分析</b></p><p>　　由表3可以看出，我國人口在短時間內仍會繼續(xù)增長，增長水平為每年1000萬人左右，到2010年和2020年，全國總人口將達13.59億人與14.44億人。</p><p><b>　　敏感性分析</b></p><p>

19、　　由模型的建立原理可知：，故將隨的增加成二次冪增長，而，女性比例變化不大的情況下，可認為正比于生育模式，又因為生育模式正比于總和生育率，故與總和生育率成二次正相關，即整個模型對總和出生率十分敏感。</p><p><b>　　模型優(yōu)點</b></p><p>　　基于傳統(tǒng)的Logistic模型，建立起市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口間的相互流動關系，綜合考慮了出生率、死亡率與遷入遷出

20、對人口增長的影響，對Logistic原模型做了合理的擴充，使其更符合實際情況，預測效果良好。同時根據(jù)實際情況，對難以求解的微分方程采用差分方程代替，降低了解題難度，使模型易于實現(xiàn)。</p><p><b>　　模型缺點</b></p><p>　　由于采用了差分方程的近似代替，整個預測結果均隨著時間的增長而增大，這是不符合生物學規(guī)律的，故此模型對人口的中短期預測較好，

21、長期預測則難以讓人信服。</p><p>　　沒有考慮性別比對年齡結構的影響，且只能對總人口數(shù)進行預測，無法對性別比和年齡結構做出相應的預測。</p><p><b>　　改進方向：</b></p><p>　　采用先進的工具軟件對微分方程求解，得到模型預測的準確結果。</p><p>　　分段對模型進行調整和改進，減少

22、累加誤差。</p><p>　　模型二：離散人口發(fā)展方程模型</p><p><b>　　模型建立分析</b></p><p>　　由于模型一的局限性，需要進一步分析各因素對全國人口總數(shù)的影響?？紤]一個地區(qū)第年初的人口，它有三類主要來源：</p><p>　　本地區(qū)第年存活下來的人；</p><p&g

23、t;　　本地區(qū)第年出生并存活下來的人；</p><p>　　外部地區(qū)第年遷入或遷出本地區(qū)的人。</p><p>　　為定量描述這些因素對人口數(shù)的影響，建立如下人口發(fā)展模型：</p><p><b>　　模型建立</b></p><p>　　針對一個地區(qū)，若第年年初有歲人口數(shù)人，則由假設4第年年初這些人為歲。若為這批人在一

24、年內的死亡率，為遷移進來的人口數(shù)，則年年初歲的人口數(shù)為。0歲人口數(shù)需通過婦女生育情況另行計算，人口發(fā)展方程數(shù)據(jù)流程圖如圖1所示：</p><p>　　圖 1 人口發(fā)展方程數(shù)據(jù)流程圖</p><p>　　于是有人口發(fā)展方程的離散形式：</p><p>　　其中，是女性人口在該年齡組中的比例，為生育模式，為總和生育率。是年代年齡為的所有婦女在一年中所生嬰兒數(shù)。為育

25、齡期，。這是一個以年度為時間間隔的差分方程組，并且考慮了嬰兒死亡率的影響。令引進向量和矩陣符號：</p><p>　　則差分方程組可以寫成向量形式：</p><p>　　式中矩陣為從到年的人口狀態(tài)轉移矩陣，為生育矩陣，為人口遷移數(shù)。</p><p><b>　　參數(shù)預測</b></p><p><b>　　狀態(tài)

26、轉移矩陣</b></p><p>　　由模型要求，可對做如下估計：</p><p>　　由于表中所給的死亡率是后向死亡率，需要將其轉換成前向死亡率才能用于人口發(fā)展方程模型，轉換方程為：；</p><p>　　考慮數(shù)據(jù)誤差和生物生存規(guī)律，對人口按0，1~4，5~9，10~14，……85~89，90分為20組； 分別計算組內死亡率，同組內死亡率取相同值，以得

27、到較為穩(wěn)定的分布規(guī)律，</p><p>　　其中，年齡的組內死亡率</p><p>　　以上計算得到從到年的人口狀態(tài)轉移陣，考慮到隨著生活水平的提高，人們的死亡率會逐漸降低，而兒童和老年人的死亡率受此影響較大，中年人較小，故可由下式預測各年齡段的死亡率</p><p>　　表 4 各年齡組的死亡率(1：1000)</p><p>&l

28、t;b>　　生育矩陣</b></p><p>　　生育陣受嬰兒出生死亡率陣，0歲人口死亡率陣，生育模式陣和女性在該年齡組中的比例陣四個方面的影響，可以表示為：。數(shù)據(jù)已知，下面分別建立對和的預測模型。</p><p><b>　　生育模式陣</b></p><p>　　生育模式，實際是指育齡婦女在總體平均意義下單位時間內（通常指

29、一年），每個育齡婦女平均活產嬰兒數(shù)具體在每個年齡上生育的分布形式。在社會穩(wěn)定的情況下，可以認為它大體服從一個穩(wěn)定的分布。本文用標準化后的均值來估計生育模式。</p><p>　　以某一地區(qū)為例，首先將各年的婦女生育率累加，得到總和生育率，再取各年齡生育率與總和生育率的比值，得到標準化后該年的生育模式，最后對5年生育模式取平均，得到生育模式的估計值。其中2003年的數(shù)據(jù)由于統(tǒng)計錯誤，暫不考慮。 </p>

30、<p>　　利用表中數(shù)據(jù)可得生育模式為：</p><p>　　表 5 生育模式</p><p><b>　　女性比例矩陣</b></p><p>　　是一個對角陣，下一年女性比例矩陣可以近似為：</p><p>　　其中為上一年出生的女嬰所占的比例，根據(jù)近年統(tǒng)計資料可知出生女性比例一直在較低的水平進

31、行波動，又因為出生女性比例為隨機值，因此可以利用計算機進行為持在低水平的隨機模擬方法給出。</p><p>　　例如，由表中數(shù)據(jù)，可取市的模擬區(qū)間為[0.4604,0.4638]，而對于鄉(xiāng)，則是一個較低的水平[0.45,0.4527]，以后各年初生兒的女性比例都可以在相應地區(qū)的模擬區(qū)間上隨機取值。這樣既保證了女性比例的波動性，又保證了它的地區(qū)差異性。</p><p><b>　　

32、總和生育率</b></p><p>　　總和生育率是一定時期（如某一年）各年齡組婦女生育率的合計數(shù)，說明每名婦女按照某一年的各年齡組生育率度過育齡期，平均可能生育的子女數(shù)，是衡量生育水平最常用的指標之一。</p><p>　　受國家政策的影響，在不同的時期，有不同的取值。由題中所給數(shù)據(jù)可知，不同地區(qū)的總和生育率有較大差距，近些年來，國家生育政策有所放寬。由此，可以預測未來的一段

33、時間內，各地區(qū)總和生育率將趨于平衡，在更長的一段時間內，我國將達到總和生育率為2.1的人口穩(wěn)定狀態(tài)。又根據(jù)國家有關部門預測，全國總和生育率在未來30年應保持在1.8左右，過高或過低都不利于人口與經濟社會的協(xié)調發(fā)展。故可取年時市鎮(zhèn)鄉(xiāng)的總和生育率都達到1.8，當年時達到穩(wěn)定的總和生育率2.1，取各時間段間為線性變化。以市為例，可以給出如下的總和生育率的分段函數(shù)：</p><p><b>　　人口遷移數(shù)<

34、;/b></p><p>　　考慮多個地區(qū)時，對的預測采用按年齡有比例遷移的方法。對某一年齡，求出第年相對于第年的遷移比例，并將其標準化，正數(shù)表示遷入，負數(shù)表示遷出。分別取2001、2002與2004、2005兩組數(shù)據(jù)的均值，可得遷移率。</p><p>　　在社會穩(wěn)定的狀態(tài)下，可認為不會隨時間有太大變化。根據(jù)現(xiàn)有資料，由《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》，可設各地區(qū)每年有1%的人口按此比

35、例遷移，則的表達式為：</p><p><b>　　人口出生高峰</b></p><p>　　我國人口在1984～1990年出現(xiàn)了的三次人口出生高峰，這將導致2005年后的十幾年中，育齡婦女占總人口的比例增加，進而引起出生人口和總人口的增加。由于出生高峰與大約20年后的育齡婦女比例有直接關系，為了解出生高峰對總人口的影響，我們采用對大約20年后育齡婦女比例進行加權預測

36、。由《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》中提供的出生高峰圖，可以估計所加權值在1.2左右。</p><p><b>　　模型求解</b></p><p>　　將上面所得各參數(shù)代入人口發(fā)展方程，用MATLAB求解可得出以下數(shù)據(jù)：</p><p>　　市鎮(zhèn)鄉(xiāng)及全國人口總數(shù)</p><p>　　表 6 市鎮(zhèn)鄉(xiāng)及全國人口預測（萬

37、人）</p><p>　　各年齡段人數(shù) </p><p>　　表 7 不同年齡段人口數(shù)預測</p><p>　　女性在總人口中的比例 </p><p>　　表 8 女性人口百分比預測</p><p><b>　　結果分析與檢驗</b><

38、/p><p>　　由表6可得，全國人口在2010年、2020年的人口將達13.63、14.57億人，同《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告 》中的預測值高度一致，且由圖2看出，全國人口將呈現(xiàn)在短期內增長、中期平穩(wěn)過渡、長期緩慢下降的趨勢，在2039年達到峰值14.65億人，這符合我國的人口政策。</p><p>　　圖 2 全國人口預測曲線圖</p><p>　　由表7看出，

39、隨著時間的推移，老年人所占人口比例越來越大，并在2031年突破4億大關，占總人口的27.48％，老齡化問題應當引起足夠重視！</p><p>　　圖 3 年齡結構變化預測圖</p><p>　　由表8看出，我國人口的另一個特點是男女比例失調，若按目前出生人口的性別比持續(xù)下去，到2015年后，性別比將低于正常水平48%，新進入婚育年齡人口男性明顯多于女性，婚姻擠壓問題凸現(xiàn)，可能導致的社會

40、秩序混亂將成為影響社會穩(wěn)定的嚴重隱患。</p><p>　　由圖2可以看出，1984～1990年間的人口出生高峰期，直接導致了2005～2015年的嬰兒出生高峰，并間接引起了2030～2045間的人口總數(shù)波動，且在2039年出現(xiàn)了人口總數(shù)峰值，說明人口出生高峰將產生不止一代的影響，應盡量避免高峰期的產生。</p><p><b>　　敏感性分析</b></p&g

41、t;<p><b>　　總和生育率</b></p><p>　　由模型的構建過程可知，總和生育率對預測結果有著重大影響，此點可由圖4說明：</p><p>　　圖 4 全國總人口隨總和生育率的變化圖</p><p>　　由圖4可知，隨著的增大，總人口數(shù)和其變化趨勢都將產生較大變化，若要維持人口的長期穩(wěn)定，應在2.0左右，與2

42、.1的更替水平相接近；若要控制現(xiàn)階段人口的過快增長，則值應適當?shù)陀?.0。＝1.8的效果可參照圖2；可知模型對非常敏感。</p><p><b>　　遷移率</b></p><p>　　隨著計劃生育國策的進一步推廣，城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村的總和生育率將趨于一致，在此前提下，分別取遷移率為1/100，1/80，1/50，可以得到如下結果：</p><p>　

43、　表 9 遷移率對總人口的影響</p><p>　　表中數(shù)據(jù)說明隨著遷移率的增加，總人口數(shù)將降低，這同城市的低生育率、低死亡率相符合，同時表中總人口數(shù)目變化不大，也說明模型對遷移率的敏感性不高。</p><p><b>　　老齡化和出生高峰</b></p><p>　　老齡化和出生高峰都將對年齡結構產生影響，它們主要通過影響某一時段育齡婦

44、女占總人口的比例來引起人口的總數(shù)的變化，因而我們可以通過研究育齡婦女的比例來對老齡化和出生高峰的影響進行預測，表10是預測結果：</p><p>　　表 10 不同權值下育齡婦女比例對總人口的影響</p><p>　　由表10中的數(shù)據(jù)可知，隨著育齡婦女加權因子的減小，也及老年化突出程度增加和出生高峰嚴重程度的減少，總人口數(shù)將減少，說明模型對老齡化和出生高峰的處理符合實際情況。同時可以看出，

45、它們對總人口的影響是比較大的，因而模型對老齡化和出生高峰比較敏感。</p><p><b>　　性別比例</b></p><p>　　聯(lián)合觀察表6和表8中的數(shù)據(jù)可以對性別比例對總人口的影響做大致了解，從表11可以看出，總人口隨著女性比例的降低而降低，符合生物學規(guī)律。</p><p>　　表 11 總人口與女性比例（％）關系表</p&

46、gt;<p><b>　　模型優(yōu)缺點</b></p><p><b>　　模型優(yōu)點：</b></p><p>　　充分考慮現(xiàn)階段的人口增長特點，引入性別比例轉移矩陣，利用計算機模擬未來出生人口的性別比例，動態(tài)地對人口性別變化做出預測。</p><p>　　對死亡率做出合理的假設，分年齡段地計算各年齡的死亡率，

47、既簡化了模型，也較準確地符合實際。</p><p>　　結合我國當今大量人口遷入城市以及城鎮(zhèn)化進程快速，將人口遷移率引入模型，得到各年市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的各年人口數(shù)。</p><p>　　八十年代的出生高峰期會使最近幾年的總和生育率提高，模型通過引入權重，使模型更貼近實際。</p><p><b>　　模型缺點：</b></p><

48、p>　　總和生育率是一個隨時間變化的量，本文沒有對其變化的因素充分考慮，只是按照國家統(tǒng)計局的數(shù)據(jù)和國家的政策對其變化規(guī)律做了線性近似。</p><p>　　生育模式在社會穩(wěn)定時，一般不會變化，但對于長期的人口預測，生育模式應該變化。</p><p>　　死亡率是一個隨機變量，本模型沒有對其隨機性進行展開討論。</p><p>　　沒有考慮女性平均壽命比男性高對

49、老年人中女性比例的影響。</p><p><b>　　兩個模型的比較</b></p><p><b>　　復雜程度 </b></p><p>　　模型一基于傳統(tǒng)的logistic模型，所需數(shù)據(jù)少，具有簡潔易行等特點，且由于用差分方程代替了微分方程，使求解難度大大降低。而模型二構造復雜，所需數(shù)據(jù)種類多，量大，求解也較復雜，需

50、要用到專門的數(shù)學軟件。 </p><p>　　預測精度 </p><p>　　由模型得到的數(shù)據(jù)可以看出，對于中短期的預測，兩模型均有較高的準確度，但隨著時間的增加，模型一的精確度逐步下降，而模型二則很好的維持了高精度。 </p><p>　　應用范圍 </p><p>　　由以上分析可知，兩個模型各具優(yōu)點，若擁有的數(shù)據(jù)量

51、有限，且只需進行短期預測，首選模型一；若擁有足夠的數(shù)據(jù)量，且需對人口進行長期預測，則可以考慮模型二。</p><p><b>　　對政府的一些建議</b></p><p>　　人口數(shù)量和素質與國家的發(fā)展息息相關，根據(jù)合理的預測方案采取正確的人口措施，對于國家政府至關重要，這里我們基于以上兩個模型提出一些建議：</p><p>　　從模型的靈敏度

52、出發(fā)，總和生育率對人口的增長有很大影響，因此應嚴格控制總和生育率，有關部門要及時搜集精確數(shù)據(jù)，對總和生育率做出準確判斷，采取相應措施。</p><p>　　由模型知，男女比例對人口總數(shù)也有一定的影響，且有可能導致社會秩序混亂是影響社會穩(wěn)定的嚴重隱患，應引起足夠重視。</p><p>　　出生高峰將導致某段時間內人口總數(shù)的快速增長，對本已穩(wěn)定的社會關系造成沖擊，且將對后幾代產生持續(xù)影響，因此