畢業(yè)論文--關(guān)于一階線性微分方程積分因子的求法

1、<p>　　關(guān)于一階線性微分方程積分因子的求法</p><p>　　摘 要：在學(xué)習(xí)微分方程過程中,總會(huì)遇到一些微分方程無從下手求解,但只要它轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程求解就變得簡(jiǎn)單,但轉(zhuǎn)化時(shí)需要求解出積分因子,因此找出積分因子對(duì)解題具有重要意義.從課本定義理論出發(fā),歸納總結(jié)了有關(guān)積分因子的一些知識(shí),詳細(xì)討論了它的一般求解方法;并收集資料歸納出幾種特殊類型微分方程積分因子的求法.文章介紹一些特定條件下微分方程如何直

2、接、有效的計(jì)算積分因子,從而高效的求解的方法.同時(shí)簡(jiǎn)要說明了,在求解此類型題目時(shí)的心得體會(huì).</p><p>　　關(guān)鍵詞：微分方程;恰當(dāng)方程;積分因子</p><p>　　1. 引 言 </p><p>　　常微分方程是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要橋梁之一,其主要研究的問題是對(duì)常微分方程的求解.在常微分方程理論中,一階微分方程的求解是整個(gè)微分方程求解的基礎(chǔ),一階常微

3、分方程一般的有兩種方法求解：一是以可變量分離方程為基礎(chǔ),通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q把一階微分方程化為可積型方程;另外就是以恰當(dāng)微分方程為基礎(chǔ),采取積分因子法把一階微分方程轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程求解.對(duì)于恰當(dāng)微分方程我們有一個(gè)通用的求解公式.但是,就如大家都知道的,并不是所有的一階微分方程的都是恰當(dāng)微分方程.對(duì)于這類不是恰當(dāng)微分方程的一階常微分方程該如何求出它的解呢,這就需要用到這里我們討論的積分因子了.而這種利用積分因子將方程化為恰當(dāng)微分方程進(jìn)行求

4、解的方法既靈活又難掌握,所以系統(tǒng)的研究積分因子的求法很有必要且是非常有意義的.</p><p>　　通過相關(guān)資料的查閱及分析,現(xiàn)有的教材對(duì)一階微分方程積分因子的求法都僅局限于一些簡(jiǎn)單的情況,介紹的求解方法都比較零散,對(duì)積分因子的求法沒有一個(gè)系統(tǒng)全面的總結(jié).</p><p>　　然而尋找積分因子不是容易的事情,一般的解題方法只介紹了依據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)或者通過觀察來尋找積分因子.但本文我通過了解積分

5、因子的定義、討論了積分因子存在的充要條件、判斷恰當(dāng)微分方程充要條件以及求解積分因子的幾種方法和給出了若干特殊類型的積分因子的求法,來縮短我們求解一階線性微分方程的時(shí)間.文章最后我通過實(shí)例來說明應(yīng)用方法,文章雖給出了一些以特殊類型的積分因子求解線性微分方程的方法,但是依然存在許多用以下方法難以解決的問題,還需要繼續(xù)努力探索.</p><p>　　恰當(dāng)微分方程的定義[1] </p><p>

6、;<b>　　若方程</b></p><p>　　的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分,則稱上式式為恰當(dāng)微分方程.</p><p>　　判斷恰當(dāng)微分方程的充要條件</p><p><b>　　若方程</b></p><p>　　分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),以及的連續(xù)性可得到</p><p>

7、　　是為恰當(dāng)微分方程的充要條件.</p><p><b>　　積分因子的定義</b></p><p><b>　　若對(duì)于一階微分方程</b></p><p>　　其中,在矩形域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù),且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)．若存在連續(xù)可微的函數(shù),使得</p><p>　　, <

8、/p><p>　　為一恰當(dāng)方程,即存在函數(shù),使</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　則稱為方程的積分因子．</p><p>　　顯然,此時(shí)是上式的通解,因而也就是方程的通解． </p><p>　　積分因子存在的充要條件</p><p>　　先假設(shè)對(duì)于

9、方程,存在這樣的連續(xù)可微函數(shù)使得 </p><p><b>　　方程可變?yōu)?</b></p><p><b>　　由于,顯然與同解,</b></p><p><b>　　可得函數(shù)為</b></p><p>　　的積分因子的充要條件為</p>

10、;<p>　　即 ． </p><p>　　但方程是個(gè)以為未知數(shù)的一階線性偏微分方程,要想通過解方程來求積分因子通常很困難.但在若干特殊情形中，求的一個(gè)特解還是容易的，所以也就提供了尋求特殊形式的積分因子的一個(gè)途徑. </p><p>　　求解積分因子的幾種方法[2]</p><p&

11、gt;<b>　　觀察法求積分因子法</b></p><p>　　對(duì)于一些簡(jiǎn)單的微分方程,用觀察就可以得出積分因子．</p><p>　　例 有五種不同形式的積分因子</p><p><b>　　,,,,;</b></p><p><b>　　的積分因子是：,</b><

12、;/p><p>　　作用到方程后得到的全微分方程是：</p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　的積分因子是：．</b></p><p>　　要使用觀察法求出積分因子,我們就要熟記一些常見簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分,具體類型如下：</p><p><b&

13、gt;　　,,</b></p><p><b>　　,,</b></p><p><b>　　,．</b></p><p>　　熟記、理解、掌握并利用幾種簡(jiǎn)單微分方程的積分因子,便可以提高我們求解有關(guān)微分方程的做題效率．</p><p>　　例 求解微分方程：．</p>

14、<p>　　解 將原方程各項(xiàng)重新組合后可以寫成</p><p>　　根據(jù)上面結(jié)論,是的積分因子,而是的積分因子,</p><p>　　從而可得原方程的積分因子為 ,</p><p><b>　　于是有</b></p><p>　　即 </p>&l

15、t;p>　　兩邊積分得原方程解為</p><p><b>　　．</b></p><p>　　總結(jié)：觀察法只適用于求解簡(jiǎn)單的微分方程的積分因子,有的可以直接看出,有的則需要將原方程通過重新組合,再運(yùn)用觀察法得出．</p><p><b>　　分組法求積分因子法</b></p><p>　　對(duì)于

16、一些復(fù)雜的方程,往往不容易直接求出它們的積分因子,這是可以把它的左邊分組,利用分組求解積分因子,然后再求整體的的積分因子．</p><p><b>　　例如分成兩組：</b></p><p>　　可分別求每個(gè)的積分因子和,也就是如果有,使：</p><p><b>　　,．</b></p><p>

17、　　于是借助,?？汕蟮玫梅e分因子．</p><p><b>　　定理 </b></p><p>　　如果是的一個(gè)積分因子,且,則也是的積分因子．此處是的任一連續(xù)函數(shù)．而,其中是的一個(gè)原函數(shù)．</p><p>　　據(jù)此知,對(duì)任意的函數(shù),,及都分別是（4）的第一組和第二組的積分因子．函數(shù)、有著廣泛選擇的可能性,若能選擇、使：</p>

18、<p><b>　　,</b></p><p>　　則就既是的第一組也是第二組的積分因子．因而也就是的積分因子．</p><p>　　例 求解微分方程 ．</p><p>　　解 原方程可改寫為</p><p><b>　　前一組滿足</b></p><p&g

19、t;<b>　　,</b></p><p>　　且僅與有關(guān),故有積分因子,則</p><p>　　因而有更一般的積分因子</p><p><b>　　,</b></p><p>　　而對(duì)于后一組,顯然有積分因子,則 </p><p>　　因而有更一般的積分因子</p&g

20、t;<p><b>　　,</b></p><p>　　為了使 </p><p>　　即 </p><p>　　只需取 ,,</p><p>　　如此可得原方程有積分因子

21、,</p><p><b>　　且有 </b></p><p><b>　　積分上式即可得</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　此外原方程還有解=0和=0．</p><p>　　注: 運(yùn)用分組法求積分因子時(shí)有兩個(gè)重要

22、問題</p><p>　　關(guān)鍵在于對(duì)較復(fù)雜對(duì)稱形式的的方程進(jìn)行適當(dāng)分組;</p><p>　　重難點(diǎn)在于適當(dāng)選取和,使得．</p><p><b>　　分項(xiàng)組合法組合原則</b></p><p>　　定義 在全微分方程中,對(duì)于,若,則稱和為全微分相關(guān)項(xiàng);若滿足上面關(guān)系,和也是微分相關(guān)項(xiàng);而或?yàn)楠?dú)立微分項(xiàng).</p

23、><p>　　例 求方程的通解.</p><p>　　解 本例可用分項(xiàng)組合法求通解.求解過程如下：</p><p><b>　　拆項(xiàng) </b></p><p>　　組合 因與和相關(guān),應(yīng)單獨(dú)為一項(xiàng),,,所以和為全微分相關(guān)項(xiàng),應(yīng)組合成一新項(xiàng).</p><p>　　將方程轉(zhuǎn)換成分組全微分方程.&l

24、t;/p><p><b>　　因,,</b></p><p>　　所以原方程轉(zhuǎn)化為. </p><p><b>　　通解為.</b></p><p>　　注： 分項(xiàng)組合法的關(guān)鍵在于組合,組合的原則為：</p><p>　　分項(xiàng)后,若存在只與和相關(guān)的項(xiàng),或只與和相關(guān)的項(xiàng),應(yīng)為獨(dú)

25、立項(xiàng),不與其它項(xiàng)組合.</p><p>　　所有微分相關(guān)項(xiàng)組合成一項(xiàng).</p><p>　　微分方程中幾種特殊類型的的積分因子[3]</p><p>　　定理 方程具有形如的積分因子的充要條件為：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　證明 因?yàn)橛蟹e分因子的充要條件為

26、</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　令,則有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　．</b>&l

27、t;/p><p>　　并由此得出其積分因子為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　根據(jù)這個(gè)定理可以得出以下特殊類型的積分因子的充要條件．</p><p>　　具有形式的積分因子[4]</p><p>　　方程具有特殊因子的充要條件為</p><p>&l

28、t;b>　　,</b></p><p>　　這里僅為的函數(shù)．于是積分因子為．</p><p><b>　　例　求的積分因子．</b></p><p>　　解 因?yàn)?,且,,則,</p><p><b>　　于是積分因子為．</b></p><p><

29、b>　　具有形式的積分因子</b></p><p>　　方程具有特殊因子的充要條件為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　這里僅為的函數(shù)．于是積分因子為．</p><p><b>　　例　求的積分因子．</b></p><p><

30、;b>　　解 因?yàn)?,且,</b></p><p><b>　　于是積分因子為．</b></p><p>　　具有形式的積分因子[5]</p><p>　　方程具有特殊因子的充要條件為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　例　求方程

31、的積分因子．</p><p><b>　　解 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　, ,</b></p><p>　　且,只與有關(guān),于是有積分因子</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　具有形式的積分因子&

32、lt;/b></p><p>　　方程具有特殊因子的充要條件為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　例 求方程的積分因子．</p><p>　　解 因?yàn)? ,且,</p><p><b>　　于是積分因子為．</b></p>&

33、lt;p>　　推廣 方程具有特殊因子的充要條件是：</p><p><b>　　．</b></p><p>　　具有形式的積分因子[6]</p><p>　　方程具有特殊因子的充要條件為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　由此又可分為二種類型

34、：</p><p>　　方程具有特殊因子的充要條件為</p><p><b>　　;</b></p><p>　　方程具有特殊因子的充要條件為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　例 求方程的積分因子．</p><p>　　解　

35、設(shè)積分因子為,于是有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　或?qū)懗?lt;/b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　上式對(duì)任意和都滿足時(shí),必須有,,解之得,．于是有積分因子．</p><p>　　注：

36、此種類型中,的確定可用待定系數(shù)法．</p><p>　　以上所討論的是微分方程具有特殊因子的求法．而有些方程具有特殊結(jié)構(gòu),我們可根據(jù)其特殊結(jié)構(gòu)求出其積分因子．</p><p>　　特殊結(jié)構(gòu)方程的積分因子[7]</p><p>　　定理 方程有積分因子：</p><p><b>　?。?lt;/b></p>&l

37、t;p>　　定理 如果,而和皆為次齊次函數(shù),則方程有積分因子：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　變?yōu)?lt;/b></p><p>　　若微分方程為（或可轉(zhuǎn)換為）</p><p>　　當(dāng)較簡(jiǎn)單（常常是約掉一些因子）時(shí),可變?yōu)?此時(shí)方程變?yōu)?lt;/p>

38、<p>　　經(jīng)此變換后方程可能是前面所介紹的某類方程或可能變成某類方程.</p><p>　　例 求方程的通解.</p><p>　　解 令,,因此原方程不屬于前面所介紹的各類方程,但.</p><p>　　故,移項(xiàng)得.方程屬于伯努利方程,令,,方程變?yōu)?解之得</p><p><b>　　.</b><

39、;/p><p>　　用積分因子法求非齊次線性微分方程的通解[8]</p><p><b>　　一階線性微分方程</b></p><p>　　其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù).</p><p>　　若 變?yōu)?則稱為一階齊次線性微分方程.</p><p>　　若,稱為一階非齊次線性微分方程.</p

40、><p>　　一階齊次線性微分方程可用分離變量法簡(jiǎn)單求解.</p><p>　　下面介紹用積分因子法求解一階非齊次線性微分方程.</p><p><b>　　用積分因子法求解：</b></p><p>　　把改成如下的對(duì)稱形式： </p><p>　　一般而言[9],不是恰當(dāng)方

41、程,但以因子乘 兩側(cè),得到方程</p><p>　　亦即,它是恰當(dāng)方程.由此可直接積分,得到通解</p><p>　　其中C是任意常數(shù),這樣就求出了方程的通解</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)[10]</b></p><p>　　綜上所述,該文介紹了一階微分方程積分因子的求解方法和一些特殊類型的積分因子的求法及部分特

42、殊結(jié)構(gòu)的微分方程的積分因子的求法.掌握這幾種方法,就能較容易的解出一些方程的積分因子,將大大提高解微分方程的效率和可操作性.對(duì)于文中講述到的幾種主要方法,其中觀察法適合比較簡(jiǎn)單的微分方程積分因子的求解,分組法、解方程更適合于一些比較復(fù)雜的微分方程.因而,要想提高做題速度,在做題過程中要認(rèn)真審題,通過對(duì)一些常見簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分的熟記掌握,進(jìn)而就能通過觀察法求出簡(jiǎn)單微分方程的積分因子.所以要把握好各個(gè)題目的特點(diǎn),然后選取一種合適的方法進(jìn)

43、行求解,當(dāng)然,有時(shí)也可以多種方法混合使用,從而熟練掌握求解微分方程的方法．</p><p>　　微分方程在各科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用,有些問題涉及到一階微分方程求解,因而就涉及到積分因子的求法,因此,系統(tǒng)的研究一階微分方程積分因子的求法對(duì)諸多領(lǐng)域所涉及的一階微分方程的求解將有很大幫助.這樣做可以大大縮短求解一階微分方程所耗費(fèi)的時(shí)間,使問題的處理可以更加便捷高效.</p><p><b

44、>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 王高雄, 朱思銘，周之銘，王壽松，李艷會(huì).常微分方程（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.</p><p>　　[2] 石瑞青，閆曉紅，郭紅建等.常微分方程全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解[M].北京：中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社，2009.</p><p>　　[3] 劉文武.兩類微分方程的積分因子[J]

45、. 黔南民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，(06)．</p><p>　　[4] 馮世強(qiáng).西華師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011.</p><p>　　[5] 丁同仁.常微分方程基礎(chǔ)［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2003.</p><p>　　[6] 王金城.積分因子的探討[J].科技教育創(chuàng)新報(bào)，2007年第20期．</p><p>　　[7

46、] 李君士．積分因子的求法[J]．九江師專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1989，8（2）：64-68</p><p>　　[8] 王燕.關(guān)于一階線性常微分方程求解的探討.中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2010.</p><p>　　[9] 邵麗梅.微分方程積分因子法及其應(yīng)用.科技信息.2010</p><p>　　[10] E.卡姆克. 常微分方程手冊(cè)[M].科學(xué)出版社.1977.<