充分統(tǒng)計量課程設(shè)計報告

1、<p><b>　　畢業(yè)論文(設(shè)計)</b></p><p>　　GRADUATION　THESIS　（DESIGN）</p><p>　論文（設(shè)計）題目Title Of Thesis（Design）充分統(tǒng)計量課程設(shè)計報告 </p><p>　分院（系別）Departmen

2、t數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 </p><p>　專業(yè)Speciality應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級Class應(yīng)數(shù)102 </p><p>　論文（設(shè)計）作者Author of Thesis（Design）楊海衛(wèi) 馬建凱 王 哲 宋成斐 李雙群 管亞飛論文完成日期Date2012年 7月 </p><p>　論文（設(shè)計）指導(dǎo)教師Advisor指導(dǎo)教師職

3、稱The Title of Advisor副教授 </p><p>　　充分統(tǒng)計量課程設(shè)計報告</p><p>　　The Course Exercise Of Sufficient statistic</p><p>　　[摘要] 統(tǒng)計量的引入是為了簡化樣本，便于統(tǒng)計推斷。而充分統(tǒng)計量則是簡化統(tǒng)計問題中非常重要的概念。本文從充分統(tǒng)計量的定義、作用及其判斷

4、標(biāo)準(zhǔn)入手，對該課題加以研究。并討論了兩種證明充分統(tǒng)計量的方法，并給出了幾個相關(guān)結(jié)論及其應(yīng)用。</p><p>　　[關(guān)鍵詞] 充分統(tǒng)計量 因子分解法 定義法 實例應(yīng)用</p><p>　　[Abstract] Statistics is introduced to simplify the sample, is convenient for statistical inference

5、. And the sufficient statistic is a simplified statistical problem is a very important concept. This article from the sufficient statistics definition, effect and judgement standard proceed with, the research on the topi

6、c of. And discusses two prove sufficient statistic method, and gives some related conclusions and its application.</p><p>　　[Key words] Sufficient statistics Factorization method Definition method Ap

7、plication example</p><p><b>　　[目錄]</b></p><p><b>　　一 引言</b></p><p>　　二 充分統(tǒng)計量的概念…………………………………………………………1</p><p>　　1充分統(tǒng)計量的起源……………………………………………………………

8、.1</p><p>　　2 充分統(tǒng)計量的定義……………………………………………………………2</p><p>　　三 充分統(tǒng)計量的證明及其相關(guān)結(jié)論………………………………………………4</p><p>　　1 證明充分統(tǒng)計量的二種方法……………………………………………….4</p><p>　　(i)定義法……………………………………………

9、……………………4</p><p>　　(ii)因子分解法………………………………………………….5</p><p>　　2幾個相關(guān)結(jié)論……………………………………………………………7</p><p>　　定理1…………………………………………………………………..7</p><p>　　定理2………………………………………………………………

10、..7</p><p>　　定理3………………………………………………………………………..7</p><p>　　四 引入充分統(tǒng)計量的意義及應(yīng)用…………………………………………………7</p><p>　　1充分統(tǒng)計量在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用研究…………………………………7</p><p>　　2基于充分統(tǒng)計量的粒子濾波方法………………………

11、………………9</p><p>　　小結(jié)………………………………………………………………………………12</p><p>　　致謝語……………………………………………………………………………12</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………………12</p><p><b>　　[引言]</

12、b></p><p>　　統(tǒng)計量的引入是為了簡化樣本，便于統(tǒng)計推斷。但在利用統(tǒng)計量進(jìn)行統(tǒng)計推斷時，一個自然的問題是：我們所用的統(tǒng)計量是否把樣本中關(guān)于感興趣的問題的信息全部吸收進(jìn)來了？如果某個統(tǒng)計量包含了樣本中關(guān)于感興趣問題的所有信息，則這個統(tǒng)計量對將來的統(tǒng)計推斷會很有用，這時候充分統(tǒng)計量就是一個很有用的概念。本文將研究和探討充分統(tǒng)計量的概念，定義及給出證明。同時討論充分統(tǒng)計量在各個領(lǐng)域的作用。</p&

13、gt;<p>　　一 充分統(tǒng)計量的概念</p><p><b>　　1充分統(tǒng)計量的起源</b></p><p>　　它是費希爾于1922年正式提出的，而其思想則源于他與天文學(xué)家愛丁頓的有關(guān)估計標(biāo)準(zhǔn)差的爭論中。設(shè)x1,x2,…,xn為來自N(μ,σ2)的獨立同分布樣本，現(xiàn)要估計σ。費希爾主張用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s,而愛丁頓則主張用如下的平均絕對偏差</p&

14、gt;<p><b>　　(1)</b></p><p>　　費希爾認(rèn)為“在s中包含了樣本中有關(guān)σ的全部信息，而d則否”，這就是充分統(tǒng)計量</p><p>　　在數(shù)理統(tǒng)計中，由樣本來推斷總體的前提是：樣本中包含了總體分布的的信息。簡單的隨機樣本滿足了這一前提條件。樣本中所包含的關(guān)于總體分布的信息可分為兩部分，其一是關(guān)于總體結(jié)構(gòu)的信息，即反映總體分布的結(jié)構(gòu)

15、（類型）。</p><p>　　例如，假定總體分布是正態(tài)分布，則來自該總體的的樣本也是相互獨立，相同的正態(tài)分布。因此，在樣本中包含了總體分布是正態(tài)分布的信息。其二是關(guān)于總體分布中未知參數(shù)的信息，這是由于樣本的分布中包含了總體分布中的未知參數(shù)?，F(xiàn)在，我們把目標(biāo)集中在后一部分的信息，即要推斷總體分布的未知參數(shù)，為此構(gòu)造一個合適的統(tǒng)計量，對樣本進(jìn)行加工，以便把樣本中關(guān)于未知參數(shù)的信息提煉出來。</p>&

16、lt;p>　　譬如，為了估計總體的均值υ，人們把樣本(X1,X2，……，Xn)T加工成樣本均值,為了估計總體方差σ2，把樣本加工成樣本方差Sn2,然后用和和Sn2分別去估計總體均值υ和方差σ2.那么試問：統(tǒng)計量或Sn2與樣本（X1，X2，……，Xn）T中所含υ或σ2的信息是否一樣多？換言之，統(tǒng)計量和Sn2是否把樣本（X1,X2，……，Xn）T中關(guān)于υ和σ2的信息全部提煉出來，而沒有任何的信息損失。顯然，一個好的統(tǒng)計量，應(yīng)該能夠?qū)?/p>

17、本中所包含的關(guān)于未知參數(shù)的信息全部提取出來。</p><p>　　2 充分統(tǒng)計量的定義</p><p>　　定義1：設(shè)X1，X2，……，Xn是來自總體X具有分布函數(shù)F(x;θ)的一個樣本，T=T(X1,X2,……，Xn)為一個（一維或多維的）統(tǒng)計量，當(dāng)給定T=t時，若樣本（X1，X2，……，Xn）T的條件分布（離散總體為條件概率，連續(xù)總體為條件密度）與參數(shù)θ無關(guān)，則稱T是θ的充分統(tǒng)計量。&

18、lt;/p><p>　　充分統(tǒng)計量的含義可以這樣解釋：樣本中包含關(guān)于總體分布中未知參數(shù)θ的信息，是因為樣本的聯(lián)合分布與θ有關(guān)。對統(tǒng)計量T，如果已經(jīng)知道它的值以后，樣本的條件分布與θ無關(guān)，就意味著樣本的剩余部分中不再包含關(guān)于θ的信息，換言之，在T中包含了關(guān)于θ的全部信息，因此，要做關(guān)于θ的統(tǒng)計推斷只需從T出發(fā)即可。這就是“充分統(tǒng)計量”這個概念中“充分”這個詞的含義。</p><p>　　例：

19、為研究某個運動員的打靶命中率θ，我們隊該運動員進(jìn)行測試，觀察了其10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的觀測結(jié)果包含了兩種信息：</p><p>　?、?打靶10次命中8次；</p><p>　?、?2次不命中分別出現(xiàn)在第三次和第六次打靶上。</p><p>　　第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有什么幫助的：設(shè)想我們對該運動員的觀測結(jié)果是第一、二

20、次未命中，其余都命中。雖然樣本觀測值是不一樣的，但它們提供的關(guān)于命中率θ的信息是一樣的。因此，在絕大數(shù)世紀(jì)問題中，試驗編號信息常常對了解總體或其參數(shù)是無關(guān)緊要的。</p><p>　　一般地，設(shè)我們對該運動員進(jìn)行n次觀測，得到x1，x2，……，xn，每個xi取值非0即1，命中為1，不命中為0，令T=x1+……+xn,T為觀測到的命中次數(shù)，在這種場合僅僅記錄使用T不會丟失任何與命中率θ有關(guān)的信息。這種信息稱為充分性

21、。</p><p><b>　　另一種解釋如下：</b></p><p>　　定義2 在可測空間(X，B)上的統(tǒng)計量T=T(x)，實際上是對樣本X=(X1…Xn)進(jìn)行某種加工的結(jié)果，這種加工從本質(zhì)上體現(xiàn)了統(tǒng)計量壓縮數(shù)據(jù)的功能．從理論上看，若T-1是在(γ，b)上取值的可測映照，那么對σ代數(shù)b中任一元素c在占中有一個原像</p><p>　　T

22、-1(c)={x:T(x) ∈c}∈B (2)</p><p>　　把所有原像的全體記為</p><p>　　T-1(b)={ T-1(c):c∈b}∈B (3)</p><p>　　容易驗證：T-1 (b)是σ代數(shù)，并且是B的σ子代數(shù)．這表明，有了統(tǒng)計量T-1之后，原先樣本所涉及

23、的可測空間(X，B)換為另一個新的可測空間(X，T-1 (b))，差別在于σ代數(shù)縮小了，涉及到的事件減少了．只有在T-1是一對一映照時σ代數(shù)才不能被壓縮，統(tǒng)計中應(yīng)用的統(tǒng)計量T-1=T-1(x)常常是多對一映照，σ代數(shù)縮小了是幾乎肯定的．所以一般說來，任一個統(tǒng)計量都有壓縮數(shù)據(jù)的功能，只是程度不同罷了。但是壓縮不能過分，以至于抹殺了樣本之間的重要差別，造成信息損失，在統(tǒng)計中把不損失信息的統(tǒng)計量稱為充分統(tǒng)計量．</p><

24、p>　　“不損失信息” 的統(tǒng)計量就是充分統(tǒng)計量．這是一種模糊的說法，從數(shù)學(xué)的意義，它意味著什么呢?</p><p>　　設(shè)總體x服從某個分布Pθ(x)，為了對參數(shù)θ作統(tǒng)計推斷，需要從該總體中抽取一個樣本X=(X1,…,Xn)，樣本X中含有θ的信息，顯然，對樣本X加工不可能增加信息，不減少θ的信息就是最好的了．由樣本X可算出統(tǒng)計量T，假如能由統(tǒng)計量T的值恢復(fù)樣本，那么這種統(tǒng)計量就不會損失有關(guān)θ的信息．要做到這

25、一點，關(guān)鍵要在給定T=t下，樣本X的條件分布不依賴于θ，即有</p><p>　　Pθ(X=x|T=t)=P(X=x|T=t) (4)</p><p>　　由以上分析知，在對樣本的加工過程中，一個統(tǒng)計量“不損失信息”的數(shù)學(xué)描述是“在T取任一個值時，樣本的條件分布不依賴于未知參數(shù)”，但允許T</p><p>　　的一個零測集有

26、例外，由此可給出充分統(tǒng)計量的一般定義．</p><p>　　定義：設(shè)(X，B，{Pθ∈Θ))是一個統(tǒng)計結(jié)構(gòu)，又</p><p>　　設(shè)T=T(X)是(X，B)到(J，b)的一個統(tǒng)計量，Pθ是T的誘導(dǎo)分布，假如在Pθ的零測集外，T取任一個值時t，樣本X=(X1,…,Xn)的條件分布都不依賴于θ，即對任意的θ∈Θ和B∈B，有</p><p>　　Pθ(B / t) =

27、P(B / t)，α ·s· Pθ (5)</p><p>　　則稱T為該分布族(或參數(shù)θ)的充分統(tǒng)計量．</p><p>　　二 充分統(tǒng)計量的證明及其相關(guān)結(jié)論</p><p>　　1 證明充分統(tǒng)計量的二種方法</p><p>　　定義：設(shè)(x，B，P)是一個統(tǒng)計結(jié)

28、構(gòu)，T = T(x)是從可測空間(X，B)到(J，b)的一個可測映照T，假若這個映照T不依賴于分布族P，則稱T為此結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)計量，假如P為參數(shù)分布族{Pθ ：θ ∈ Θ}，則不依賴于參數(shù)θ的可測映照T稱為此結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)計量。</p><p>　　由上定義可知，對任一總體和具體的統(tǒng)計問題，可以構(gòu)造很多結(jié)構(gòu)不一形式多樣的統(tǒng)計量．但如何去驗證一個統(tǒng)計量的充分性，一般可采用二種方法：</p><p>

29、;<b>　　(i)定義法</b></p><p>　　所謂定義法就是對任意的θ∈Θ和B ∈B，先求出Pθ ( B / t)，若其與θ無關(guān)，由充分統(tǒng)計量的定義即可判定其是充分統(tǒng)計量，否則不然．</p><p>　　例 設(shè)X1 ,…, Xn。是來自Poisson分布P(λ)的一個樣本，證明：統(tǒng)計量是參數(shù)λ的充分統(tǒng)計量．</p><p>　　證明

30、 由 Poisson分布的可加性知，T~P( n λ )，即</p><p>　　當(dāng)T = t時，樣本的條件分布為</p><p>　　Pλ(X1= x1，…，Xn = xn | T = t)</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p>&l

31、t;p><b>　　=</b></p><p>　　這個條件分布是多項分布，它在t給定下就完全確定，它與參數(shù)λ無關(guān)，故T是參數(shù)λ的充分統(tǒng)計量．</p><p><b>　　(ii)因子分解法</b></p><p>　　在最一般的場合，確定條件分布并非易事，它需要從抽象的條件期望與條件概率的定義上出發(fā)逐步地探討，因子

32、分解定理是一個更為方便地判別充分統(tǒng)計量的方法．</p><p>　　定理1設(shè) X， B，{Pθ：θ∈Θ}為可控結(jié)構(gòu)，μ為控制測度，記Pθ(x)=d Pθ／dμ，又設(shè)T = T(x)是(X，B)到(J，b)上的統(tǒng)計量，則T為充分統(tǒng)計量的充要</p><p>　　條件，對任意的θ∈Θ有</p><p>　　Pθ (x) = gθ ( T ( x ) ) h( x)，a．

33、s．u (6)</p><p>　　其中h(x)為x上的非負(fù)B可測函數(shù)：</p><p>　　g(x)為J上的b可測函數(shù)</p><p>　　僅就離散場合給出證明．</p><p>　　證明：必要性：對任意固定的c∈J，其原像集合記為A( t )=( x ：T ( x ) = t )，設(shè)T(x)是參

34、數(shù)θ的充分統(tǒng)計量，則在給定T=t下，條件概率Pθ( X = x |T </p><p>　　= t )與參數(shù)θ無關(guān)，它只能是x的函數(shù)，此記h(x)．</p><p>　　另外，無條件概率Pθ( T = t)記為gθ(f)，于是對</p><p>　　給定的t及x ∈A(t)，有</p><p>　　Pθ( x ) = Pθ( X = x )&

35、lt;/p><p>　　=Pθ(X=x，T=t)</p><p>　　= Pθ ( X = x | T = t)Pθ(T=t)</p><p>　　=h(z)·gθ(t)</p><p>　　充分性：對任意x ∈A(t)，有</p><p>　　Pθ(X=x|T=x)</p><p>&l

36、t;b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　因為對y = A ( t )，有T ( y ) = t，故有</p><p>　　Pθ ( X = x | T = t)</p><p&g

37、t;<b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　此結(jié)果與參數(shù)θ無關(guān)．</p><p>　　當(dāng)x ?A(t)時，T(x)≠t，于是事件“X=x”與事件“T( x )= t”不可能同時出現(xiàn)，所以當(dāng)時x ? A( t )時，Pθ ( X=x，T=t)=0，從而Pθ ( X = x | T=

38、 t ) =0，此與θ無關(guān)，綜合上述，T(x)是充分統(tǒng)計量．</p><p>　　例 設(shè) X=(X1 ,…, Xn)是來自正態(tài)分布N(μ，σ2)的一個樣本，其樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為</p><p><b>　　=</b></p><p>　　由因子分解定理知．是(μ，σ2)的充分統(tǒng)計量．</p><p><b>

39、;　　2幾個相關(guān)結(jié)論</b></p><p>　　定理1 設(shè)(X，B，P)為統(tǒng)計結(jié)構(gòu)，X為歐氏空間，則次序統(tǒng)計量(X(1)，?，X(n))為該分布族p的充分統(tǒng)計量．</p><p>　　此結(jié)論是非常顯然的．若n次試驗都在相同條件下獨立進(jìn)行，我們只需知道，n次試驗的結(jié)果是什么，而試驗結(jié)果的排列次序無關(guān)緊要，特別，當(dāng)人們知道次序統(tǒng)計量的觀察值時，并沒有損失樣本中任何有用的信息．&l

40、t;/p><p>　　定理2 充分統(tǒng)計量的一對一變換仍是充分統(tǒng)計量從直觀上看來，任何一對一變換都不會損失信息，因為它能輕而易舉地恢復(fù)原來充分統(tǒng)計量的取值．</p><p>　　定理3 MLE常是充分統(tǒng)計量的函數(shù)</p><p>　　事實上，由因子分解定理，若T為充分統(tǒng)計量，</p><p>　　P ( x ; θ) = g(θ,T ( x )

41、) h ( x ) (7)</p><p><b>　　故</b></p><p>　　L( θ; x ) = lng (θ, T ( x ) )+ lnh(x) (8)</p><p>　　由此，使L(θ；x)達(dá)到最大與使g(θ，T(x))達(dá)最大是等價的．故θ(x)可取為T(x)

42、的函數(shù)。</p><p>　　上述定理不僅為驗證一個統(tǒng)計量是否為統(tǒng)計量拓寬了途徑，同時，定理4也為求一個參數(shù)的極大似然估計提供了一條思路．</p><p>　　三 引入充分統(tǒng)計量的意義及應(yīng)用</p><p>　　1充分統(tǒng)計量在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用研究</p><p>　　在用統(tǒng)計方法處理數(shù)字信號的過程中，我們需要對未知的數(shù)字參數(shù)進(jìn)行必要的估計

43、，而且望得到的估計是無偏的、具有最小方差的。在某些情況下，根據(jù)克拉美一羅下限(Cramer—Rao LB)定理，我們可以找到符合要求的估計量。這種估計量滿足無偏性，它們具有最小的方差和估計誤差方差，估計的方差達(dá)到了CRLB，我們稱之為參數(shù)的有效估計。它是最小方差無偏估計量，簡稱為MVU估計量。由CRLB的計算導(dǎo)出有效估計量，即MVU估計量，在待估參數(shù)可以表示為觀測數(shù)據(jù)的線性模型的時候非常有效。然而，如果有效估計量不存在或者是CRLB方法

44、失效時，是否能夠求出我們所關(guān)心的MVU估計量就成了一個問題。引入充分統(tǒng)計量的概念和重要的Rao—Blackwell—Lehmann—Scheffe(RBLS)定理，利用充分統(tǒng)計量的相關(guān)理論，在許多情況下可以通過簡單地考察PDF就有可能確定MVU估計量。同時，研究經(jīng)典體系下基于貝葉斯方法的參數(shù)估計與基于充分統(tǒng)計量的參數(shù)估計之間的關(guān)系和性能是很有意義的。通過比較和歸納，我們可以較全面、更直觀的理解和掌握信號處理中的統(tǒng)計方法，明確目標(biāo)，合理的

45、選擇處理方法，更有效地解決問題。</p><p>　　充分估計量定義為觀測矢量的一個函數(shù)，它是各觀測數(shù)據(jù)的函數(shù)，假設(shè)充分估計量為 T（x）它具有這樣的性質(zhì)：當(dāng)T（x）一定的時候，觀測數(shù)據(jù)矢量的概率似然函數(shù)與參數(shù)無關(guān)。為了定量的說明充分估計量的定義，以DC電平的估計問題為例，也即是數(shù)據(jù)矢量的PDF</p><p><b>　　(9)</b></p>

46、<p>　　假定已經(jīng)觀測到T（x）=T0 的情況下，將上式改變?yōu)闂l件概率：P(X | T（x）=T0，A)，它應(yīng)與A無關(guān)。從上面的定義及描述可以看出一個估計量是充分估計量是需要嚴(yán)格的證明的，但是計算條件如下</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b

47、>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　根據(jù)奈曼一費希爾(Neyman—Fisher)因子分解定理可知，統(tǒng)計量就是上述觀測模型的一個充分統(tǒng)計量，如果它是完備的充分統(tǒng)計量，那么由它映射的一個函數(shù)就可以達(dá)到無偏和最小方差，即可以得到

48、函數(shù)g(T(X))為參數(shù)θ的MVU估計量。所以我們關(guān)鍵是要證實T(X)的完備性，顯然，根據(jù)RBLS定理有是參數(shù)θ的一個MVU估計量。運用經(jīng)典的貝葉斯準(zhǔn)則，假設(shè)參數(shù)θ的先驗分布則可以得到這一問題的結(jié)果，最大后驗概率估計、最小均方估計和條件中位數(shù)估計均相等，它們都是</p><p><b>　　(10)</b></p><p>　　可見，隨著觀測模型中噪聲功率的增大，貝葉

49、斯估計的偏差先逐漸減小，中間經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折，又逐漸增大，最后當(dāng)噪聲功率很大時，偏差趨于恒定。此時的貝葉斯估計不論從估計誤差還是估計誤差的方差與充分統(tǒng)計量估計相比均較大，此時充分統(tǒng)計量估計具有很強的優(yōu)勢。</p><p>　　可見，當(dāng)參數(shù)服從正態(tài)分布時，貝葉斯估計與充分統(tǒng)計量估計的平方偏差與參數(shù)的關(guān)系曲線非常接近，都能在信號參數(shù)的真值附近取得良好的效果(誤差很小)，在信噪比較高的情況下，兩者幾乎沒有區(qū)別；在信噪比較低

50、(差)的情況下，負(fù)參數(shù)時貝葉斯估計略好，正參數(shù)時充分統(tǒng)計量估計較好。信號中的參數(shù)一般為正，故充分統(tǒng)計量估計略好。</p><p>　　充分統(tǒng)計量在數(shù)字信號參數(shù)估計中有著廣泛的應(yīng)用，在某些方面具有特殊的優(yōu)勢?；诔浞纸y(tǒng)計量的參數(shù)估計方法具有良好的應(yīng)用特性，尤其是在信道性能較差(信噪比較低)的情況下有著突出的優(yōu)勢?；诔浞纸y(tǒng)計量的參數(shù)估計方法與傳統(tǒng)意義上的基于貝葉斯準(zhǔn)則的估計方法具有良好的互補性能；基于充分統(tǒng)計量的信

51、號參數(shù)的估計量容易獲得，方法簡單，性能可靠；基于充分統(tǒng)計量的估計與傳統(tǒng)的基于線性模型的估計具有良好的一致性，通過具體簡潔的實例，針對充分統(tǒng)計量理論用于數(shù)字信號有關(guān)參數(shù)的估計問題，我們得到了一些有用的結(jié)論，為進(jìn)一步開展的研究提供了一些有用的參考。</p><p>　　2基于充分統(tǒng)計量的粒子濾波方法</p><p>　　粒子濾波方法是非線性濾波理論的最新發(fā)展成果，能夠?qū)崿F(xiàn)非線性、非高斯條件下對

52、系統(tǒng)狀態(tài)的有效估計，代表著非線性濾波的主流方向.該方法的一個主要缺陷是計算復(fù)雜，在同樣精度下，其計算量通常比擴展卡爾曼攤波方法高出2、6個數(shù)量級。在基本的粒子濾波過程中，為了解決采樣粒子的性能退化問題，必須使用重采樣程。重采樣過程在抑制性能退化現(xiàn)象的同時，消耗了大量的計算資源，并帶來粒子枯竭問題。對于后驗概率密度函數(shù)滿足高斯分布的情況，Kotecha等lal提出高斯粒子濾波方法，通過均值和方差的遞推估計，實現(xiàn)了后驗概率密度函數(shù)的更新，由

53、于濾波過程中新的采樣粒子總是從連續(xù)的而非離散的分布函數(shù)中獲得，因而不會發(fā)生粒子退化現(xiàn)象，也不需要進(jìn)行重采樣過程，從而降低了計算需求。Story正提出基于充分統(tǒng)計量的參數(shù)估計方法，但該方法對于充分統(tǒng)計量的更新僅適用于高斯——逆伽瑪分布，不具有普遍性。而基于充分統(tǒng)計量的粒子濾波方法，將高斯粒子濾波方法擴展到所有后驗概率密度函數(shù)可以用充分統(tǒng)計量描述且充分統(tǒng)計量易于更新的情形。最后，將該方法應(yīng)用于狀態(tài)和參數(shù)的聯(lián)合估計問題，仿真實驗結(jié)果驗證SSP

54、F方法的有效性。</p><p>　　在統(tǒng)計學(xué)中，充分統(tǒng)計量是一種重要的維數(shù)縮減(dimension reduction)技術(shù)，它可以將復(fù)雜的觀測數(shù)據(jù)簡化為數(shù)量較少的參數(shù)集合，方便問題的分析與處理.</p><p>　　定義1函數(shù)Tk(z1:k)稱作是隨機變量丸的一個充分統(tǒng)計量，如果Tk(z1:k)包含的關(guān)于Xk的信息等價于數(shù)據(jù)集合z1:k包含的關(guān)于Xk 的信息，即</p>

55、<p>　　那么一旦得到Tk(z1:k)，數(shù)據(jù)集合Z1:k中將不再包含關(guān)于Xk的任何其它信息。關(guān)于充分統(tǒng)計量的求解和判斷，可以按照以下定理確定。</p><p>　　定理1(Neyman一Fisher因子分解定理)如果能夠?qū)⒏怕拭芏群瘮?shù)p(Xk/Z1:k)分解為</p><p>　　其中函數(shù)g只有通過Tk(z1:k)后才與z1:k有關(guān)，h只是Z1:k的函數(shù)，那么Tk(z1:k)是

56、Xt的充分統(tǒng)計量。反之，如果Tk(z1:k)是Xk的充分統(tǒng)計量，那么p(Xk/z1:k)可以分解為上式。</p><p>　　在粒子濾波方法中，如果后驗概率密度函數(shù)滿足定理1，則可以利用粒子濾波中各階矩信息易于估計的特點，首先求解各階矩信息，然后更新充分統(tǒng)計量.</p><p>　　在粒子濾波方法中，一階原點矩可以通過以下公式求解</p><p>　　特別地，一階原

57、點矩拌又稱為估計的均值，二階中心矩m:又稱為方差.得到各階矩信息之后，利用充分統(tǒng)計量和各階矩信息之間的聯(lián)系，可以求出新的充分統(tǒng)計量.這里將充分統(tǒng)計量與各階中心矩之間的關(guān)系總結(jié)在表1中.</p><p>　　根據(jù)以上充分統(tǒng)計量的更新方式，假設(shè)在k-1時刻，存在關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)Xk-1，的充分統(tǒng)計量Tk-1=Tk-l(z1:k-1)可以得到基于充分統(tǒng)計量的粒子濾波步驟如下：</p><p>　　在

58、濾波過程中，任一時刻的參數(shù)粒子集合由更新后的充分統(tǒng)計量所確定的概率密度函數(shù)重新生成，與上一時刻的粒子集合無關(guān)，因而能夠完全避免粒子枯竭現(xiàn)象，不再需要重采樣過程.然而，該方法的使用必須滿足兩個條件</p><p>　　(l)存在充分統(tǒng)計量Tk-1，使得p(Xk/z1:k)=p(Xk/T(z1:k));</p><p>　　(2)充分統(tǒng)計量乙易于更新.</p><p>

59、　　針對粒子濾波方法的重采樣過程導(dǎo)致粒子多樣性喪失、計算量增大的問題，基于充分統(tǒng)計量的粒子濾波方法，應(yīng)用于系統(tǒng)狀態(tài)的后驗概率密度函數(shù)可以用充分統(tǒng)計量描述且充分統(tǒng)計量易于更新的情況.基于充分統(tǒng)計量的粒子濾波方法通過充分統(tǒng)計量的傳遞代替后驗概率密度函數(shù)的更新，能夠避免粒子枯竭現(xiàn)象，不再需要重采樣過程，降低了計算負(fù)擔(dān);而且，該方法能夠進(jìn)行并行化處理，易于在超大規(guī)模集成電路上實現(xiàn)，具有較高的實用價值.</p><p>&

60、lt;b>　　[結(jié)論]</b></p><p>　　通過對充分統(tǒng)計量的研究及證明，充分統(tǒng)計量在各領(lǐng)域參數(shù)估計中有著廣泛的應(yīng)用，在某些方面具有特殊的優(yōu)勢?；诔浞纸y(tǒng)計量的參數(shù)估計方法具有良好的應(yīng)用特性。 通過研究有關(guān)參數(shù)的估計問題，我們可以得到一些有用的結(jié)論，為進(jìn)一步開展的研究提供了一些有用的參考。</p><p><b>　　[致謝語]</b><

61、;/p><p>　　在這次課程實習(xí)過程中，首先感謝老師的耐心指導(dǎo)，在老師的幫助下，我們學(xué)會了怎么思考，怎么寫好一篇論文，還有感謝小組同學(xué)的積極配合，大家一起討論，對于不同的問題，都能很好的發(fā)表自己的觀點，讓我們能夠?qū)W會從不同的方位思考問題。由于作者水平和時間有限，文中難免有不當(dāng)甚至錯誤之處，懇請讀者批評指正</p><p><b>　　[參考文獻(xiàn)]</b></p&g

62、t;<p>　　[1]趙選民，徐 偉，師義民，秦超英. 數(shù)理統(tǒng)計[M]. 北京：科學(xué)出版社，2002</p><p>　　[2]茆詩松，程依明，濮曉龍. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M]. 北京：高等教育出版社，2011</p><p>　　[3]陳希儒. 數(shù)理統(tǒng)計引論[M]. 北京：科學(xué)出版社，1999</p><p>　　[4]于義良，羅蘊玲，安建業(yè).

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