一級(jí)倒立擺控制的極點(diǎn)配置方法畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、<p>　　一級(jí)倒立擺控制的極點(diǎn)配置方法畢業(yè)設(shè)計(jì)</p><p>　　一級(jí)倒立擺控制的極點(diǎn)配置方法</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合和快速運(yùn)動(dòng)的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)。因此倒立擺在研究雙足機(jī)器人直立行走、火箭發(fā)射過程的姿態(tài)調(diào)整和直升機(jī)飛行控制領(lǐng)域中有重要的現(xiàn)實(shí)意義，相關(guān)

2、的科研成果己經(jīng)應(yīng)用到航天科技和機(jī)器人學(xué)等諸多領(lǐng)域。</p><p>　　本文通過極點(diǎn)配置, 實(shí)現(xiàn)了用現(xiàn)代控制理論對(duì)一級(jí)倒立擺的控制。利用牛頓第二定律及相關(guān)的動(dòng)力學(xué)原理等建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)小車和擺分別進(jìn)行受力分析，并采用等效小車的概念，列舉狀態(tài)方程，進(jìn)行線性化處理想, 最后通過極點(diǎn)配置，得到變量系數(shù)陣。利用Simulink建立倒立擺系統(tǒng)模型，特別是利用Mask封裝功能, 使模型更具靈活性，給仿真帶來很大方便。實(shí)現(xiàn)了倒

3、立擺控制系統(tǒng)的仿真。仿真結(jié)果證明控制器不僅可以穩(wěn)定倒立擺系統(tǒng)，還可以使小車定位在特定位置。</p><p>　　倒立擺，數(shù)學(xué)建模，極點(diǎn)配置</p><p>　　THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLE</p><p>　　INVERTED PENDULUM</p><p><b>　　Abstra

4、ct</b></p><p>　　Inverted pendulum system is multivariable, nonlinear, strong-coupling and instability naturally. The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in the research s

5、uch as, the walking of biped robot, the lunching process of rocket and flying control of helicopter, and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot.</

6、p><p>　　Through the pole placement method, the control of the inverted pendulum is realized. We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics, analysis the fo

7、rce of the cart and pendulum, and adopt the concept of "the equivalent cart”. During writing the equitation of the system, the equitation has been processed by linear. At last，we get coefficient of the variability.

8、The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box. Specia</p><p>　　Key words: inverted pendulum, mathematic model, pole placement </p><p><b>　　目 錄</b></p

9、><p><b>　　I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1緒論1</b></p><p>　　1.1倒立擺系統(tǒng)簡(jiǎn)介1</p><p>　　1.2倒立擺的控制規(guī)律2</p><p>　　1.3對(duì)倒立擺系

10、統(tǒng)研究的意義3</p><p>　　1.4倒立擺的發(fā)展?fàn)顩r4</p><p>　　1.5論文的主要工作5</p><p>　　2直線一級(jí)倒立擺的牛頓―歐拉方法建模7</p><p>　　2.1微分方程的推導(dǎo)7</p><p>　　3狀態(tài)空間極點(diǎn)配置10</p><p>　　3.1狀態(tài)

11、反饋及輸出反饋的兩種基本形式10</p><p><b>　　饋10</b></p><p><b>　　饋11</b></p><p>　　3.2關(guān)于兩種反饋的討論12</p><p>　　3.3狀態(tài)反饋的優(yōu)越性14</p><p>　　3.4極點(diǎn)配置的提出14

12、</p><p><b>　　點(diǎn)的選擇14</b></p><p>　　置需要注意的問題15</p><p>　　3.5理論分析15</p><p>　　3.6極點(diǎn)配置的方法問題16</p><p>　　3.7根據(jù)極點(diǎn)配置法確定反饋系數(shù)18</p><p>　　4

13、一級(jí)倒立擺系統(tǒng)模塊仿真21</p><p><b>　　結(jié) 論23</b></p><p><b>　　致 謝24</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)25</b></p><p>　　附錄A 外文文獻(xiàn) 26</p><p>　　

14、附錄B 中文翻譯 331緒論</p><p>　　1.1倒立擺系統(tǒng)簡(jiǎn)介</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是一種很常見的又和人們的生活密切相關(guān)的系統(tǒng)，它深刻揭示了自然界一種基本規(guī)律，即自然不穩(wěn)定的被控對(duì)象，通過控制手段可使之具有良好的穩(wěn)定性。倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)非線性，強(qiáng)耦合，多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)。它是由沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車和通過轉(zhuǎn)軸固定在小車上的擺桿組成的。在導(dǎo)軌一端裝有用來測(cè)量小車位移的電

15、位計(jì)，擺體與小車之間由軸承連接，并在連接處安置電位器用來測(cè)量擺的角度。小車可沿一筆直的有界軌道向左或向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)擺可在垂直平面內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)。直流電機(jī)通過傳送帶拖動(dòng)小車的運(yùn)動(dòng)，從而使倒立擺穩(wěn)定豎立在垂直位置。</p><p>　　由圖中可以看到，倒立擺裝置由沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車和通過轉(zhuǎn)軸固定在小車上的擺體組成。導(dǎo)軌的一端固定有位置傳感器，通過與之共軸的輪盤轉(zhuǎn)動(dòng)可以測(cè)量出沿導(dǎo)軌由圖中可以看到，倒立擺裝置由沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車

16、和通過轉(zhuǎn)軸固定在小車上的擺運(yùn)動(dòng)的小車位移；小車通過軸承連接擺體，并在小車與擺體的連接處固定有共軸角度傳感器，用以測(cè)量擺體的角度信號(hào)；并通過微分電路得到相應(yīng)的速度和角速度信號(hào)；導(dǎo)軌的另一端固定有直流永磁力矩電機(jī)，直流電機(jī)通過傳送帶驅(qū)動(dòng)小車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，在小車沿導(dǎo)軌左右運(yùn)動(dòng)的過程中將力傳送到擺桿以實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的平衡。倒立擺的種類很多，有懸掛式倒立擺、平行式倒立擺、和球平衡式倒立擺；倒立擺的級(jí)數(shù)可以是一級(jí)，二級(jí)，乃至更多級(jí)?？刂品椒ㄒ彩嵌喾N，可

17、以通過模糊控制，智能控制，PID控制，LQR控制等來實(shí)現(xiàn)倒立擺的動(dòng)態(tài)平衡，本文介紹的是狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法來實(shí)現(xiàn)一級(jí)倒立擺的控制。</p><p>　　1.2當(dāng)前，倒立擺的控制規(guī)律可總結(jié)如下:</p><p>　　1Pm控制，通過對(duì)倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出其非線性模型，再在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化得到倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，于是設(shè)計(jì)出PID

18、控制器實(shí)現(xiàn)其控制。</p><p>　　狀態(tài)反饋控制[1]，通過對(duì)倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋和Kalnian濾波相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。</p><p>　　利用云模型[2-3]實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。這種擬人控制不要求給出被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型

19、，僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗(yàn)、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達(dá)的控制經(jīng)驗(yàn)，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題。</p><p>　　神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，已經(jīng)得到證明，神經(jīng)網(wǎng)繳（NeuralN etwork NN 能夠任意充分地逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，NN能夠?qū)W習(xí)與適應(yīng)嚴(yán)重不確定性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，所有定量或定性的信息都等勢(shì)分布貯存于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各種神經(jīng)元，故有很強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)性;也可將Q學(xué)習(xí)

20、算法[4]和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無模型學(xué)習(xí)控制。</p><p>　　遺傳算法 Genetic Algorithms, GA ，高曉智[a]在Michine的倒立擺控制Boxes方案的基礎(chǔ)上，利用GA對(duì)每個(gè)BOX中的控制作用進(jìn)行了尋優(yōu)，結(jié)果表明GA可以有效地解決倒立擺的平衡問題。</p><p>　　自適應(yīng)控制，主要是為倒立擺設(shè)計(jì)出自適應(yīng)控制器。</p&g

21、t;<p>　　模糊控制，主要是確定模糊規(guī)則，設(shè)計(jì)出模糊控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。</p><p>　　使用幾種智能控制算法相結(jié)合實(shí)現(xiàn)倒立擺控制，比如模糊自適應(yīng)控制，分散魯棒自適應(yīng)控制等等。</p><p>　　采用遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法，首先建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后為其設(shè)計(jì)出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，再利用改進(jìn)的遺傳算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，采用G

22、A學(xué)習(xí)的NN控制器兼有NN的廣泛映射能力和GA快速收斂以及增強(qiáng)式學(xué)習(xí)等性能。</p><p>　　1.3倒立擺裝置被公認(rèn)為自動(dòng)控制理論中的典型實(shí)驗(yàn)設(shè)備，也是控制理論教學(xué)和科研中的典型物理模型。通過對(duì)它的研究不僅可以解決控制中的理論和技術(shù)實(shí)現(xiàn)問題，還能將控制理論涉及的主要基礎(chǔ)學(xué)科:力學(xué)，數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)進(jìn)行有機(jī)的終合應(yīng)用。倒立擺的研究不僅有其深刻的理論意義，還有重要的工程背景。在多種控制理論與方法的研究與應(yīng)用中，特

23、別是在工程實(shí)踐中，也存在一種可行性的實(shí)驗(yàn)問題，使其理論與方法得到有效檢驗(yàn)，倒立擺就能為此提供一個(gè)從理論通往實(shí)踐的橋梁，由于倒立擺系統(tǒng)與火箭飛行和雙足步行機(jī)器人的行走有很大的相似性，因此倒立擺的研究對(duì)于火箭飛行和機(jī)器人的控制等現(xiàn)代高新技術(shù)的研究具有重要的實(shí)踐意義。目前，對(duì)倒立擺的研究己經(jīng)引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，是控領(lǐng)域研究的熱門課題之一。</p><p>　　在控制理論發(fā)展的過程中，某一理論的正確性及在實(shí)際應(yīng)用中

24、的可行性需要一個(gè)按其理論設(shè)計(jì)的控制器去控制一個(gè)典型對(duì)象來驗(yàn)證這一理論，倒立擺就是這樣一個(gè)被控對(duì)象。倒立擺本身是一個(gè)自然不穩(wěn)定體，在控制過程中能夠有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題，非線性問題，魯棒性問題，隨動(dòng)問題以及跟蹤問題等。倒立擺的典型性在于作為一個(gè)裝置，成本低廉，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，形象直觀，便于實(shí)現(xiàn)模擬和數(shù)字兩者不同的方式的控制;作為一個(gè)被控對(duì)象，又相當(dāng)復(fù)雜，就其本身而言，是一個(gè)高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強(qiáng)禍合的快速性系統(tǒng)，

25、只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。因此，倒立擺系統(tǒng)在控制理論研究中是一種較為理想的實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制，其穩(wěn)定效果非常明了，可以通過擺動(dòng)角度、位移和穩(wěn)定時(shí)間直接度量，控制好壞一目了然。理論是工程的先導(dǎo)，對(duì)倒立擺的研究不僅有其深刻的理論意義，還有重要的工程背景。從日常生活中所見到的任何重心在上、支點(diǎn)在下的控制問題，到空間飛行器和各類伺服云臺(tái)的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性，故對(duì)其的穩(wěn)定控制在實(shí)際中有很多用場(chǎng)，如海上鉆井

26、平臺(tái)的穩(wěn)定控制、衛(wèi)早發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機(jī)安全著陸、</p><p>　　1.4倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定與控制的研究在國(guó)外始于60年代，我國(guó)則從70年代中期開始研究。首先根據(jù)經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論應(yīng)用極點(diǎn)配置法，設(shè)計(jì)模擬控制器。國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者先后控制了單倒立擺與二級(jí)倒立擺的稱定。隨著徽機(jī)的廣泛應(yīng)用，又陸續(xù)實(shí)現(xiàn)了數(shù)控二級(jí)倒立擺的租定。此外，由于智能控制理論的興起，相繼應(yīng)用模糊理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制了二級(jí)倒立擺的

27、穩(wěn)定。</p><p>　　早在60年代人們就開始了對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究，1966年Schaefer和Cannon應(yīng)用Bang-Bang控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置。在60年代后期，作為一個(gè)典型的不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性證例提出了倒立擺的概念，并用其檢驗(yàn)控制方法對(duì)不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力，受到世界各國(guó)許多科學(xué)家的重視，從而用不同的控制方法控制不同類型的倒立擺，成為具有挑戰(zhàn)性的課題之一。</p>

28、;<p>　　直到70年代初，用狀態(tài)反饋理論對(duì)不同類型的倒立擺問題進(jìn)行了較為廣范的研究[5-]，雖然在許多方面都取得了較滿意的效果，但其控制方法過多的依賴于線性化后的數(shù)學(xué)模型，故對(duì)一般工業(yè)過程尤其是數(shù)學(xué)模型變化或不清晰的對(duì)象缺乏指導(dǎo)性的意義。</p><p>　　在80年代后期，隨著模糊控制理論的快速發(fā)展，用模糊控制理論控制倒立擺也受到廣泛重視，其目的在于檢驗(yàn)?zāi)：刂评碚搶?duì)快速、絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)適應(yīng)能

29、力，并且用模糊控制理論控制一級(jí)倒立擺取得了非常滿意的效果，由于模糊控制理論目前尚無簡(jiǎn)單實(shí)用的方法處理多變量問題，故用適合的方法處理二級(jí)倒立擺多變量之間的關(guān)系，仍是模糊控制二級(jí)倒立擺的中心問題之一。清華大學(xué)的張乃堯先生等提出了雙閉環(huán)模糊控制方法控制一級(jí)倒立擺。常見的模糊控制器是根據(jù)輸出偏差和輸入偏差變化率來求控制作用，是二輸入一輸出的控制器。當(dāng)控制器的輸入為兩個(gè)以上時(shí)，控制規(guī)則數(shù)隨輸入變量數(shù)指數(shù)增加，不僅使模糊控制器的設(shè)計(jì)非常復(fù)雜，也使模

30、糊控制的執(zhí)行時(shí)間大大增長(zhǎng)，難于實(shí)時(shí)應(yīng)用張乃堯先生對(duì)倒立擺采用雙閉環(huán)模糊控制方案，很好的解決了上述問題，并在實(shí)際裝置上取得了滿意的結(jié)果，并對(duì)其他模糊串級(jí)控制也具有參考價(jià)值。程福雁先生等研究了使用參變量模糊控制對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行實(shí)時(shí)控制的問題。作者擬通過傳統(tǒng)的控布鯉論得出各種狀態(tài)變量間的綜合關(guān)系，來處理系統(tǒng)的多變量問題;通過仿真尋優(yōu)和重復(fù)試驗(yàn)相結(jié)合的方法，得到控制倒立擺所謂的最優(yōu)參數(shù);采用高精度清晰化方法，使輸出控制等級(jí)更為</p>

31、;<p>　　神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺的研究，自90年代初開始得以快速的發(fā)展。而早在1963年，Widrow和Smith就開始將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于倒擺小車系統(tǒng)的控制。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺是以自學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，用一種全新的概念進(jìn)行信息處理，顯示出巨大的潛力。今天有許多學(xué)者正致力于引用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制一級(jí)或二級(jí)倒立擺的研究。另外還有許多其他的控制方法用于倒立擺的控制。</p><p>　　近代機(jī)械控制系統(tǒng)中，如直升飛機(jī)、火

32、箭發(fā)射、人造衛(wèi)星運(yùn)行及機(jī)器人舉重物、做體操和行走機(jī)器人步行控制等等都存在有類似于倒擺的穩(wěn)定控制問題.倒立擺系統(tǒng)大概可以歸納為如下幾類:懸掛式倒立擺、平行式倒立擺和球平衡式倒立擺系統(tǒng)。倒立擺的級(jí)數(shù)可以是一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)乃至多級(jí)，倒擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌道可以是水平的，還可以是傾斜的 這對(duì)實(shí)際機(jī)器人的步行穩(wěn)定控制研究更有意義 。早在60年代，人們就開始了對(duì)倒立擺系統(tǒng)控制的研究。1966年Schaefer和Cannon應(yīng)用Bang-Bang控制理論，

33、將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置。在60年代后期，作為一個(gè)典型的不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性系統(tǒng)的例證，倒立擺系統(tǒng)的概念被提了出來。人們習(xí)慣于用它來檢驗(yàn)控制方法對(duì)不穩(wěn)定、非線性和快速系統(tǒng)的控制處理能力。因而受到了普遍的重視。</p><p>　　1.5第一章簡(jiǎn)介倒立擺,對(duì)其結(jié)構(gòu)、發(fā)展、控制規(guī)律和意義進(jìn)行闡述。</p><p>　　2為了對(duì)被控對(duì)象有一個(gè)較充分的認(rèn)識(shí)，第二章應(yīng)用牛頓力學(xué)中的第二定理建立了一級(jí)倒

34、立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在平衡點(diǎn)進(jìn)行了系統(tǒng)線性化的處理，得到了系統(tǒng)的線性化模型。</p><p>　　3目前己有多種控制方法實(shí)現(xiàn)了一級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制，第三章介紹狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的控制方法，首先根據(jù)建立的狀態(tài)方程設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，然后根據(jù)狀態(tài)反饋控制器將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置進(jìn)行介紹，分析，并給出極點(diǎn)配置的方法和反饋系數(shù)的確定過程。</p><p>　　4第四章進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，根據(jù)仿真獲得的結(jié)果進(jìn)行

35、極點(diǎn)的最優(yōu)化選擇。極點(diǎn)距離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)系統(tǒng)的控制速度越快。</p><p>　　2 系統(tǒng)建模可分為兩種：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過在研究對(duì)象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系列的輸入―輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識(shí)和

36、數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入―狀態(tài)關(guān)系。</p><p>　　對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。下面我們采用其中的牛頓―歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。</p><p><b>　　2.1</b

37、></p><p><b>　　圖2.1</b></p><p><b>　　我們不妨做以下假設(shè)</b></p><p>　　M 小車質(zhì)量</p><p>　　m 擺桿質(zhì)量</p><p>　　b 小車摩擦系數(shù)</p><

38、;p>　　l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度</p><p>　　I 擺桿的慣量</p><p>　　F 加在小車上的力</p><p>　　X 小車的位置</p><p>　　θ 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）</p><p>　　分析小

39、車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：</p><p>　　由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：</p><p>　　即: </p><p>　　把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：</p><p><b>　　1.1 </b></p><p>

40、　　為力推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：</p><p>　　即： </p><p><b>　　力矩平衡方程如下：</b></p><p>　　注意：此方程中力矩的方向， </p><p><b>　　故等式前面有負(fù)號(hào)。</b>

41、;</p><p>　　合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　設(shè)（單位是弧度）相比很小，即 1，即可以進(jìn)行近似處理： </p><p>　　用u來代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：</p><p>　

42、　以上式子就是建立的數(shù)學(xué)模方程式。</p><p>　　3 經(jīng)典控制理論的研究對(duì)象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需要有關(guān)于被控對(duì)象的較精確模型。現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，將經(jīng)典控制理論的概念擴(kuò)展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點(diǎn)配置法通過設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足工程師提出的瞬態(tài)性能指標(biāo)。前面我們已經(jīng)得到了倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動(dòng)力學(xué)模型，下面我們針

43、對(duì)直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)控制器。</p><p>　　3.1用狀態(tài)向量的線性反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng),成為狀態(tài)反饋系統(tǒng).狀態(tài)反饋使用了系統(tǒng)狀態(tài)變量的線性組合，作為反饋?zhàn)兞縼砼渲孟到y(tǒng)的極點(diǎn)，將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)轉(zhuǎn)移到期望的位置上，從而滿足系統(tǒng)的性能要求。根據(jù)選用狀態(tài)變量的多少，可分為全狀態(tài)反饋和部分狀態(tài)反饋。</p><p>　　全狀態(tài)反饋使用了全部狀態(tài)變量的線性組合來構(gòu)成反饋系統(tǒng)，而

44、部分狀態(tài)反饋只是使用一部分狀態(tài)的線性組合來構(gòu)成反饋系統(tǒng)控制系統(tǒng)最基本的形式是由受控系統(tǒng)和反饋控制規(guī)律所構(gòu)成的反饋系統(tǒng)。在古典控制理論中，習(xí)慣于采用輸出反饋；而在現(xiàn)代控制理論中，通常采用狀態(tài)反饋。這就構(gòu)成了反饋的兩種基本形式。</p><p>　　圖3.1 狀態(tài)反饋方塊圖</p><p>　　對(duì)受控系統(tǒng)用狀態(tài)向量的線性反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，稱為狀態(tài)反饋系統(tǒng)。</p><p&

45、gt;<b>　　受控系統(tǒng)的方程為</b></p><p><b>　　線性反饋規(guī)律為</b></p><p>　　因此，通過狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為</p><p><b>　?。?.1）</b></p><p>　　一般D 0，式（3.1）可簡(jiǎn)化為<

46、;/p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　常表示為其傳遞函數(shù)矩陣為</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　系統(tǒng)用輸出向量的線性反饋構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，稱為輸出反饋系統(tǒng)。</p><p>　　圖3.2 輸出反饋方塊圖<

47、/p><p>　　當(dāng)D 0時(shí)，線性反饋規(guī)律為</p><p>　　所以通過輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　常表示為。而其傳遞函數(shù)矩陣為</p><p><b>　　（3.5）</b></p&g

48、t;<p>　　可以導(dǎo)出閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣和開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣之間的關(guān)系為</p><p><b>　?。?.6）</b></p><p>　　3.2兩種形式反饋的重要特點(diǎn)是，反饋的引入并不增加新的狀態(tài)變量，即閉環(huán)系統(tǒng)和開環(huán)系統(tǒng)具有相同的階數(shù)。</p><p>　　兩種反饋閉環(huán)系統(tǒng)均能保持反饋引入前的能控性，而對(duì)于反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能觀測(cè)

49、性則不然。對(duì)于狀態(tài)反饋形式，閉環(huán)以后不一定保持原系統(tǒng)的能觀測(cè)性；對(duì)于反饋形式，閉環(huán)以后必定能保持原系統(tǒng)的能觀測(cè)性。</p><p>　　在工程實(shí)現(xiàn)的某些方面，兩種反饋形式常常遇到一定的困難，因此，在某些情況下還需將它們推廣成一般的形式。</p><p>　　實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的一個(gè)基本前提是，狀態(tài)變量必須是物理上可量測(cè)的。當(dāng)狀態(tài)變量不可量測(cè)時(shí)，設(shè)法由輸出y和控制V把系統(tǒng)的狀態(tài)X構(gòu)造出來，即采用觀

50、測(cè)器來獲得狀態(tài)的觀測(cè)量，以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。這樣便得到此基本形式更一般的方塊圖，如圖3.3所示。</p><p>　　圖中，為X的重構(gòu)值，兩者不恒等，但是漸近相等的，觀測(cè)器也是一個(gè)線性系統(tǒng)，其階數(shù)一般小于受控系統(tǒng)的階數(shù)。所以帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，其階數(shù)等于受控系統(tǒng)和觀測(cè)器階數(shù)的和，即受控系統(tǒng)的狀態(tài)變量和觀測(cè)器的狀態(tài)變量組成了閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量。</p><p>　　圖3. 3 帶觀測(cè)器的狀

51、態(tài)反饋系統(tǒng)</p><p>　　輸出反饋雖然在獲得信息上并不存在困難，但可以證明輸出反饋的基本形式不能滿足任意給定的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)要求，包括使系統(tǒng)穩(wěn)定的必要性。為此，通常引入補(bǔ)償器，即古典控制理論中廣泛采用的校正網(wǎng)絡(luò)，以克服上述局限性。</p><p>　　圖3. 4 帶補(bǔ)償器的輸出反饋系統(tǒng)</p><p>　　圖3.4為輸出反饋的更一般形式。同樣，一般補(bǔ)償器的階數(shù)

52、將低于受控系統(tǒng)的階數(shù)，所以閉環(huán)系統(tǒng)的階數(shù)為兩者階數(shù)之和，即閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是由受控系統(tǒng)的狀態(tài)變量和補(bǔ)償器的狀態(tài)變量組成的。</p><p>　　將兩種反饋進(jìn)行比較不難得出，輸出反饋的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)的工程上構(gòu)成方便。但事實(shí)證明，狀態(tài)反饋與輸出反饋比較，具有更好的特性，而且隨著觀測(cè)器理論和卡爾曼理論的發(fā)展，狀態(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)問題也已基本解決，因此總體上說，狀態(tài)反饋有更大的適應(yīng)性。當(dāng)然對(duì)具體系統(tǒng)而言，要從實(shí)際情況出發(fā)，

53、進(jìn)行具體分析與選擇。</p><p>　　3.3狀態(tài)反饋的優(yōu)越性</p><p>　　在狀態(tài)空間中，狀態(tài)反饋的優(yōu)越性在于可將系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入綜和起來組成系統(tǒng)的控制信號(hào)，從而可以完全確定系統(tǒng)的未來行為，得到較好的控制效果。在工程上，狀態(tài)反饋可應(yīng)用現(xiàn)代控制理論，設(shè)計(jì)各種最優(yōu)控制系統(tǒng)，如最短時(shí)間控制系統(tǒng)、最小能量控制系統(tǒng)、線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)。對(duì)于有隨機(jī)擾動(dòng)的系統(tǒng)，可通過對(duì)狀態(tài)的估計(jì)，設(shè)計(jì)最優(yōu)

54、控制系統(tǒng)，同時(shí)可對(duì)變化的系統(tǒng)模型進(jìn)行自適應(yīng)控制。</p><p>　　3.4極點(diǎn)配置的提出 </p><p>　　動(dòng)力學(xué)的各種特性或各種品質(zhì)指標(biāo)在很大程度上是由系統(tǒng)的極點(diǎn)決定的,因此系統(tǒng)綜合指標(biāo)的形式之一可以取為S平面上給出的一組所希望的極點(diǎn)。所謂極點(diǎn)配置問題，就是通過狀態(tài)反饋矩陣K的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)（）的特征根，恰好處于所希望的一組極點(diǎn)的位置上。因?yàn)橄Ｍ臉O點(diǎn)具有任意性，所以

55、極點(diǎn)的配置也應(yīng)當(dāng)做到具有任意性。事實(shí)上，古典控制理論中采用的綜合法，無論是根軌跡法還是頻率法，本質(zhì)上也是一種極點(diǎn)配置問題。</p><p>　　從極點(diǎn)配置問題的定義可知，對(duì)希望極點(diǎn)的選取，實(shí)際上是確定綜合目標(biāo)的問題，也是首先要考慮的復(fù)雜的問題。</p><p>　　點(diǎn)時(shí)所遵循的原則如下：</p><p>　　對(duì)于一個(gè)n維控制系統(tǒng)，可以而且必須給定n個(gè)希望的極點(diǎn)。&l

56、t;/p><p>　　所希望的極點(diǎn)可以為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，但是當(dāng)以復(fù)數(shù)形式給出時(shí)，必須共軛復(fù)數(shù)對(duì)形式出現(xiàn)，即物理上是可實(shí)現(xiàn)的。</p><p>　　選取所希望極點(diǎn)的位置，需要研究它們對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)的影響，以及它們與零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系，從工程實(shí)際的角度加以選取。</p><p>　　在所希望極點(diǎn)的選取中，還必須考慮抗干擾和低靈敏度方面的要求，即應(yīng)當(dāng)具有較強(qiáng)的抑制干擾的能力，以及較低

57、的對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變動(dòng)的靈敏度。</p><p>　　在綜合時(shí)，需要解決極點(diǎn)配置的理論問題與方法問題。</p><p>　　點(diǎn)配置方法時(shí)，要注意的問題：系統(tǒng)完全狀態(tài)可控是求解的充分必要條件。（2）應(yīng)把閉環(huán)系統(tǒng)的期望特性轉(zhuǎn)化為Z平面上的極點(diǎn)位置。（3）理論上，選擇反饋增益可使系統(tǒng)有任意快的時(shí)間響應(yīng)。加大反饋增益可提高系統(tǒng)的頻帶，加快系統(tǒng)的響應(yīng)。但過大的反饋增益，在有一定誤差信號(hào)時(shí)，導(dǎo)致控制信

58、號(hào)的無限增大，這在工程上無法實(shí)現(xiàn)。因而必須考慮反饋增益的物理實(shí)現(xiàn)可能性。（4）當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，可用Ackerman公式，通過計(jì)算機(jī)求解。</p><p>　　3.5方程組 1.3 對(duì)解代數(shù)方程,得到解如下:

59、

60、 </p><p>　　以上式是兩元聯(lián)立二階常微分方程,如果取狀態(tài)變量為:</p><p&

61、gt;<b>　　，</b></p><p>　　即擺干的角度和速度以及小車的位置和速度四個(gè)狀態(tài)變量．則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：</p><p>　　將上式寫成向量和矩陣的形式，就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程</p><p>　　是四維的狀態(tài)向量，而系統(tǒng)矩陣Ａ和輸入矩陣Ｂ為下列形式</p><p><b>　　系統(tǒng)矩陣輸入

62、矩陣</b></p><p>　　其中參數(shù) a,b,c,d為下列表達(dá)式確定的常數(shù)。</p><p>　　選擇擺桿的傾斜角度和小車的水平位置x作為倒立擺/小車系統(tǒng)的輸出，則輸出方程為</p><p>　　所謂狀態(tài)反饋，就是用狀態(tài)向量與一個(gè)系統(tǒng)矩陣的積作為控制向量</p><p>　　控制力是一個(gè)加給小車水平方向的力，狀態(tài)變量有四個(gè)，

63、所以反饋系數(shù)是一個(gè)階的矩陣</p><p>　　則系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制力可用狀態(tài)變量與各自系數(shù)乘積之和的形式表示</p><p>　　3.6極點(diǎn)配置的方法問題</p><p><b>　　綜合指標(biāo)為：</b></p><p>　　輸出超調(diào)量 ；超調(diào)時(shí)間 ； 系統(tǒng)頻寬 ； 跟蹤誤差 （對(duì)階躍），</p><

64、p><b>　　確定希望的極點(diǎn)</b></p><p>　　顯然,希望的極點(diǎn)n 3,選其中一對(duì)為主導(dǎo)極點(diǎn)和,另一個(gè)為遠(yuǎn)極點(diǎn),并且認(rèn)為系統(tǒng)的性能主要是由主導(dǎo)極點(diǎn)決定的,遠(yuǎn)極點(diǎn)只有微小的影響。</p><p>　　根據(jù)二階系統(tǒng)的關(guān)系式，先定出主導(dǎo)極點(diǎn)。</p><p>　　式中和為此二階系統(tǒng)的阻尼比和自振頻率。</p><

65、p><b>　　可以導(dǎo)出：</b></p><p><b>　　由可得從而有于是選</b></p><p><b>　　由得</b></p><p>　　由和已選的②的結(jié)果比較可取。這樣便定出了主導(dǎo)極點(diǎn)</p><p>　　遠(yuǎn)極點(diǎn)應(yīng)選擇得使它和原點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于5||，現(xiàn)取

66、|| 10|</p><p>　　因此確定的希望極點(diǎn)為</p><p>　　注：其中主導(dǎo)極點(diǎn)決定系統(tǒng)的性能,遠(yuǎn)極點(diǎn)只有微小的影響，根據(jù)系統(tǒng)的綜合指標(biāo)關(guān)系式可以先定出主導(dǎo)極點(diǎn)，遠(yuǎn)極點(diǎn)應(yīng)選擇得使它和原點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于5倍的主極點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。</p><p>　　當(dāng)將特征根指定為下列兩組數(shù)時(shí)</p><p>　　極點(diǎn)配置法是以線性系統(tǒng)為對(duì)象設(shè)計(jì)狀態(tài)

67、反饋控制器，使閉壞控制系統(tǒng)的特征根（極點(diǎn)）分布在指定位置的控制器設(shè)計(jì)方法。</p><p>　　3.7 </p><p>　　假定倒立擺/小車系統(tǒng)的參數(shù)如下：</p><p>　　擺干的質(zhì)量m 0.07kg</p><p>　　長(zhǎng) 度2l 0.4m </p>

68、<p><b>　　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 </b></p><p>　　小車的質(zhì)量M 1.32kg</p><p>　　重力加速度g 10m/</p><p>　　得到系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B為</p><p>　　矩陣A的特征值是方程的根：</p><p>　　因此，該系統(tǒng)的特征根分別為<

69、/p><p>　　特征根之一的實(shí)部是正值，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，由此可知：時(shí)，倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。對(duì)這一不穩(wěn)定系統(tǒng)應(yīng)用狀態(tài)反饋，可使擺桿垂直且使小車處于基準(zhǔn)位置，即達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。</p><p>　　在用狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)中，應(yīng)用狀態(tài)反饋構(gòu)成的系統(tǒng)的特征根，以矩陣的特征值給出。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征值都要處于復(fù)平面的左半平面。</p><p>　　矩陣特征值

70、是方程式的根：</p><p>　　這是s的四次代數(shù)方程式，可表示為</p><p>　　適當(dāng)選擇反饋系數(shù)系數(shù)的特征值可以取得所希望的值。</p><p>　　把四個(gè)特征根設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有</p><p>　　比較兩式有下列聯(lián)立方程式</p><p>　　根據(jù)給出的實(shí)數(shù)和公軛復(fù)數(shù)的，則聯(lián)立方程式的右邊全部為

71、實(shí)數(shù)。</p><p><b>　　據(jù)此可求解出實(shí)數(shù)</b></p><p>　　利用方程式可列出關(guān)于的方程組：</p><p><b>　　求解后得</b></p><p>　　即施加在小車水平方向的控制力u：</p><p>　　上述給出的狀態(tài)反饋控制器，可以使處于任意初

72、始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即所有的狀態(tài)變量都可穩(wěn)定在零的狀態(tài)。這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在外擾時(shí)，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置，依靠該狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立，使小車保持在基準(zhǔn)位置。</p><p>　　相對(duì)平衡狀態(tài)的偏移，得到迅速修正的程度要依賴于指定的特征根的值，一般來說，將指定的特征根配置在原點(diǎn)的左側(cè)，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，控制動(dòng)作就越迅速，但響應(yīng)地需要更大的控制力和快速的靈敏度。</p>

73、<p>　　4 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)模塊仿真</p><p>　　1）用鼠標(biāo)雙擊計(jì)算機(jī)桌面上的Matlab圖標(biāo)，啟動(dòng)Matlab，在指令區(qū)運(yùn)行指令simulink或雙擊Matlab的工具欄中圖標(biāo)（Simulink Library Browser）均可啟動(dòng)Simulink模塊庫瀏覽器：然后左擊瀏覽器的工具欄中圖表（create a new mode），新建一個(gè)simulink模型窗。</p>

74、<p>　　2）從Simulink模塊庫瀏覽器的菜單Simulink的子菜單Signals&Systems下選Subsystem拖到Simulink模型窗的編輯窗口中，將所有的模塊連接起來。</p><p>　　3）最后利用Simulink的Mask功能把子系統(tǒng)進(jìn)行封裝，得到一級(jí)倒立擺系統(tǒng)模塊。</p><p><b>　　圖4.1</b><

75、/p><p>　　圖4.2小車位移的仿真曲線</p><p>　　圖4.3小車角度的仿真曲線</p><p><b>　　仿真結(jié)果分析</b></p><p>　　從仿真曲線上來看，控制量都在合理范圍，系統(tǒng)基本在兩秒回到了平衡位置。仿真證明：狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法可以穩(wěn)定一級(jí)倒立擺系統(tǒng)，而且響應(yīng)速度快，可以用于倒立擺的實(shí)物系統(tǒng)

76、控制。 </p><p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　通過畢業(yè)設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)，我們可以看到，運(yùn)用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的方法控制一級(jí)倒立擺是完全可行的。它可以將經(jīng)典控制理論的概念擴(kuò)展到多輸入多輸出系統(tǒng)，將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足工程師提出的瞬態(tài)性能指標(biāo)。設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器，可以使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即所

77、有的狀態(tài)變量都可穩(wěn)定在零的狀態(tài)。這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在外擾時(shí)，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置，依靠該狀態(tài)反饋控制可以使擺桿垂直豎立，使小車保持在基準(zhǔn)位置。</p><p>　　相對(duì)平衡狀態(tài)的偏移，得到迅速修正的程度要依賴于指定的特征根的值，一般來說，將指定的特征根配置在原點(diǎn)的左側(cè)，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，控制動(dòng)作就越迅速，但響應(yīng)地需要更大的控制力和快速的靈敏度。往往我們?cè)跐M足系統(tǒng)要求的情況下，離原點(diǎn)盡量近一點(diǎn)。&l

78、t;/p><p>　　運(yùn)用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的方法控制一級(jí)倒立擺是一個(gè)很好的方法，簡(jiǎn)單易懂，運(yùn)用方便，在很多方面都起到了很大的作用。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　這次畢業(yè)設(shè)計(jì)圓滿的結(jié)束了，在這次畢業(yè)設(shè)計(jì)中我學(xué)到了許多知識(shí)，受益匪淺，而在這個(gè)過程中，給我最大幫助的就是李小華老師和沈鵬老師，他們?cè)诎倜χ薪o我們上課，

79、指導(dǎo)。他們不僅在學(xué)術(shù)上給我以啟迪和幫助，而且還在治學(xué)作風(fēng)上用他們的實(shí)際行動(dòng)告訴我，知識(shí)來不得半點(diǎn)虛假，要腳踏實(shí)地得去做，才能有所收獲。要不斷探索，才能有新的成果。所以從他們身上，我不僅學(xué)到了知識(shí)還得到了做人的道理。我還要感謝我的父母，是他們給了我這次學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓我的夢(mèng)想得以實(shí)現(xiàn)。另外，還有很多同學(xué)也在各個(gè)方面給予我支持，在這里我要向大家說聲感謝。</p><p>　　最后讓我再次感謝：李小華老師，我的父母和幫助

80、過我的沈鵬，張德海，齊欣，劉永剛等同學(xué)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] Vander Linden G W, Lambrechts PF. H. control of an experimental inverted pendulum with dry friction. IEEE Control Systems Magaz

81、ine, 1993, 13 4 :44-50.</p><p>　　[2] Anderson C W. Learning to control an inverted pendulum using nerual nerworks[J].IEEE Control System Magazine, 1989, 9 3 :31-37.</p><p>　　[3] 王建輝，楊大鵬，顧樹生.帶有自調(diào)

82、整因子和積分校正環(huán)節(jié)的雙環(huán)模糊控制系統(tǒng)的研究[J].沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1998, 20 1 :11-14.</p><p>　　[4] 王耀南.智能控制系統(tǒng)[J].湖南:湖南大學(xué)出版社，1996.</p><p>　　[5] Bryson, AE., Luenberger, DGThe Synthesis of Regulator Logic Using State-Varieble C

83、ontrol[A], Proceeding of the IEEE, 1970,58 11 :1803-1811.</p><p>　　[6] Mora S, Nishihara H, Furuta I, Control of unstable mechanical system control of pendulum[J]. INT J Control, 1976, 23 5 : 673-692.</p&

84、gt;<p>　　[7] Sturegeon WR，Loscutof MV, Application of modal control and dynamic observers to control of a double inverted pendulum[A]. Proc JACC Stanford，1972857-865.</p><p>　　附錄A 外文文獻(xiàn) </p>&l

85、t;p>　　Introduction to the Design and Simulation of Controlled Systems</p><p>　　There are two general approaches to developing controller designs - the classical method and the modern method. Some of the C

86、ase Studies in Section VI have already introduced the classical approach which includes PID controllers, lead-lag compensators, etc.. The classical design method relies on the root locus technique Case Study C for examp

87、le and/or the various frequency response representations of LTI systems Bode, Nyquist, and Nichols plots to assist in the selection of the free variable</p><p>　　Modern control theory employs a more forma

88、l mathematical approach for the design of control systems. Matrix methods are usually applied which allows the treatment of multiple-input-multiple-output MIMO systems. The objective of the design can often be stated p

89、recisely in quantitative terms in the form of a performance index, and the control variables are determined via application of a rigorous set of mathematical procedures. The trial-and-error aspect of the classical design

90、 method is conside</p><p>　　This section of notes introduces the subject of controller design using modern control methods. In particular, state feedback control, with and without a full state observer, is i

91、ntroduced and illustrated with some numerical examples. The idea of a simple classical proportional controller is also revisited and the combination of classical and modern control is used to help explain what is really

92、happening with state control.</p><p>　　The development of these subjects is broken into two parts. The first challenge deals with the design of the control system. The root locus method is used to obtain the

93、 appropriate controller gain for the simple proportional controller and the pole placement method is used to obtain the gain matrix with the state control formulation a similar method is used to obtain the observer gain

94、s . Once the design parameters are known, our focus then turns to addressing the actual simulation of the system</p><p>　　Finally, a sequence of Matlab examples is given for the so-called ‘inverted pendulum’

95、 problem. This system is highly unstable and a robust control system is required for stable performance. Additionally, since the dynamics of the inverted pendulum is governed by a set of nonlinear equations, we can also

96、explore the impact of using linear models to design a controller for a nonlinear system.</p><p>　　一 Design of Control Systems</p><p>　　A linear model of the plant or system of interest is usual

97、ly used in the design of control systems. For linear time invariant LTI systems the state space formulation of the plant model is given by</p><p>　　where we have assumed that the output of the plant is not

98、 a direct function of the input i.e. . This can also be represented in terms of transfer functions, or</p><p>　　A block diagram of the LTI model of the plant is shown in Fig. a</p><p><b>

99、　　Figure a</b></p><p>　　Classical Proportional Control SISO </p><p>　　As an example of classical control consider the simple closed loop system shown in Fig. b. For a SISO system, the pla

100、nt transfer function, G s , is simply the scalar representation of eqn. and this is embedded within the plant block in Fig. b. The feedback loop contains the sensor transfer function, H s , and the controller block simpl

101、y contains the scalar gain,rd is the setpoint or desired response of the closed loop system.</p><p><b>　　Figure b</b></p><p>　　State Feedback Control SISO </p><p>　　The

102、 primary disadvantage of the classical control strategy given above is that there is only a single free variable, that can be adjusted. However, for an Nth order system, there are N eigenvalues of the open loop state mat

103、rix or N poles of the open loop system transfer function given by</p><p>　　If the design goal for the controlled system is to move these N poles to more appropriate locations, it certainly makes sense that a

104、dditional degrees of freedom i.e. more free variables should allow more freedom in placing the closed loop poles as desired. In particular, if there were N control variables for an Nth order system, we conceivably coul

105、d arbitrarily place all the poles of the system in any desired location.</p><p>　　With this discussion in mind, instead of feeding back a single output variable, let’s feed back the full state vector,, multi

106、plied by a matrix of gains,, where the s subscript refers to state feedback.is known as the state feedback gain matrix.</p><p>　　For the case of a SISO plant, the manipulated variable becomes</p><

107、p>　　where the state feedback gain matrix is simply a row vector of length N, or</p><p>　　Pole Placement</p><p>　　The easiest strategy for implementing state feedback control is via the so-cal

108、led pole placement technique. The basic idea is to specify the desired location of all N poles in the closed loop system, and then determine the N elements of the state gain matrix to achieve these poles. If the system i