22072.分數(shù)階方程的高效及高精度譜方法研究

1、廈門大學學位論文原創(chuàng)性聲明本人呈交的學位論文是本人在導師指導下，獨立完成的研究成果。本人在論文寫作中參考其他個人或集體己經(jīng)發(fā)表的研究成果，均在文中以適當方式明確標明，并符合法律規(guī)范和《廈門大學研究生學術活動規(guī)范(試行)》。另外，該學位論文為()課題(組)的研究成果，獲得()課題(組)經(jīng)費或?qū)嶒炇业馁Y助，在()實驗室完成。(請在以上括號內(nèi)填寫課題或課題組負責人或?qū)嶒炇颐Q，未有此項聲明內(nèi)容的，可以不作特別聲明。)。蚴_毛獅啪年歲月珞日中文

2、摘要中文摘要分數(shù)階方程是在研究物質(zhì)在復雜系統(tǒng)傳輸過程中所出現(xiàn)的反常擴散及非指數(shù)模式時所出現(xiàn)的一類微分方程。近些年來，研究表明，分數(shù)階方程能更準確地描述包含自然科學、數(shù)學、工程、生物科學以及經(jīng)濟等在內(nèi)的各學科領域中的許多現(xiàn)象。本文旨在研究分數(shù)階方程的數(shù)值解。分數(shù)階算子的全局性使得傳統(tǒng)的局部算法，比如差分法和有限元法，失去了其在求解整數(shù)階方程中的優(yōu)勢，而譜方法作為全局性算法，其所存在的主要缺點對于求解分數(shù)階方程而言將不復存在，且譜方法的另一

3、個優(yōu)點是其能更自然的處理分數(shù)階算子中的奇異核函數(shù)。本文的主要目的就是研究分數(shù)階方程的高效及高階譜方法。具體內(nèi)容如下：第一章，推導了描述多孔介質(zhì)中溶質(zhì)反常擴散的分數(shù)階擴散方程，概述了分數(shù)階擴散方程解析解與數(shù)值解方面的研究現(xiàn)狀，陳述了譜方法在分數(shù)階擴散方程數(shù)值解研究中的優(yōu)勢與難點，并對所提難點給出了相應對策，隨之列出了本文的研究內(nèi)容及主要學術貢獻，最后將本文所需的預備知識予以了簡介。第二章，給出了守恒型與非守恒型高維變系數(shù)分數(shù)階橢圓方程的高

4、效算法，該算法是整數(shù)階微分方程高效譜方法的推廣。具體來說，也就是對系數(shù)可分問題采用矩陣分解，即離散分離變量法，而對系數(shù)不可分問題采用預處理CG或BICGSTAB迭代法，預處理子所采用的是適當?shù)某Ｏ禂?shù)分數(shù)階橢圓算子，且該算子可用可分問題的快速解法求解。該算法的計算量為O(Nd1)，其中d為空間維數(shù)。我們嚴格推導了該算法的帶權誤差估計，針對解在邊界具有奇性的問題，該誤差估計能提供更為準確的收斂階數(shù)。我們還列出了大量的數(shù)值結(jié)果來驗證所給算法與

5、誤差估計。第三章，討論了兩類帶不同邊界條件的Riesz型分數(shù)階微分方程的PetrovGalerkin譜逼近。利用廣義Jacobi函數(shù)與Riesz分數(shù)階微積分之間的譜關系，對帶齊次Dirichlet邊界的分數(shù)階微分方程，以一類特別的廣義Jacobi函數(shù)構(gòu)造解空間來逼近方程的解，同時我們還討論了這類函數(shù)的相關性質(zhì)。而對于帶積分邊界條件的分數(shù)階微分方程，我們則是將其化為等價的整數(shù)階方程，通過所得整數(shù)階方程的解再重構(gòu)分數(shù)階方程的解。這兩類算法都