若干多項式系統(tǒng)計算問題的符號數(shù)值混合算法研究.pdf

1、科學(xué)計算中的諸多問題都可以轉(zhuǎn)化為多項式系統(tǒng)求解問題。符號計算和數(shù)值計算是兩種不同的計算方法。與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相比,利用符號方法得到的解是完備精確解,不存在計算誤差等問題。但符號方法由于中間系數(shù)膨脹的原因?qū)е铝舜鎯臻g的增加,降低了計算的速度,因而不能滿足實際應(yīng)用的需求。數(shù)值方法采用插值、擬合、迭代法等求解問題的數(shù)值近似解,計算效率較高,被廣泛應(yīng)用于解決工程實際問題。但受病態(tài)問題與近似計算的約束,數(shù)值方法存在迭代不收斂等問題。同時,計算結(jié)

2、果需要進行可信性與正確性驗證。本文針對上述問題,采用符號數(shù)值混合計算方法進行深入研究,討論了若干機器證明和科學(xué)計算中的典型問題,設(shè)計和實現(xiàn)了一些解決這些問題的高效的、可信的算法,并進一步探討了它們在一些工程問題中的應(yīng)用。
　　主要工作包括以下幾個方面:
　　1.針對一類代數(shù)系統(tǒng)重零點的計算問題,提出了一個顯式表示對偶空間元素的公式。在此基礎(chǔ)上,利用對偶空間對原代數(shù)系統(tǒng)做微分運算構(gòu)造新系統(tǒng),得到一個在初始點雅克比矩陣滿秩的代數(shù)

3、系統(tǒng),從而恢復(fù)了牛頓迭代算法的二階收斂性。同時,得到了重零點的重數(shù)。最后應(yīng)用此算法解決了電力系統(tǒng)潮流計算的病態(tài)問題。
　　2.半代數(shù)系統(tǒng)實根隔離方面,提出了基于連續(xù)同倫算法和區(qū)間牛頓算法的高效、可信的方法。該方法首先通過連續(xù)同倫算法和區(qū)間牛頓算法得到代數(shù)系統(tǒng)的實根區(qū)間。然后利用區(qū)間擴展對半代數(shù)系統(tǒng)中的限制條件進行驗證。該方法克服了符號算法只能解決中小規(guī)模以及有理系統(tǒng)的缺點。此外,該算法具有明顯的可并行性。
　　3.研究了一個

4、含超越函數(shù)的半代數(shù)系統(tǒng)的實根計算問題。首先,通過超越函數(shù)在區(qū)間上的泰勒展開,將此系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多項式系統(tǒng)。然后采用連續(xù)同倫方法和區(qū)間算法得到此多項式系統(tǒng)在區(qū)間上的近似實數(shù)解。最后,將此實數(shù)解視為原系統(tǒng)的近似零點,利用牛頓迭代算法,得到系統(tǒng)的實數(shù)解。實驗結(jié)果表明,該方法的效率比二分法的效率更高。
　　4.針對具有不同維數(shù)的不可約分支的正維數(shù)系統(tǒng)的實根計算問題。利用隨機行滿秩矩陣構(gòu)造新系統(tǒng),使得原系統(tǒng)中維數(shù)不等于變量個數(shù)與方程個數(shù)之差的不

5、可約分支滿足新系統(tǒng),且維數(shù)等于新系統(tǒng)的變量個數(shù)與方程個數(shù)之差。以此為基礎(chǔ),構(gòu)造特殊的同倫方程以保證在此不可約分支上找到至少一個實數(shù)解。該方法克服了已有方法不能得到所有不可約分支上實數(shù)點的問題,且算法可以并行計算所有不同維數(shù)的分支。同時,基于李雅普諾夫函數(shù)的性質(zhì),通過增加變量,將微分系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的計算問題轉(zhuǎn)化為正維數(shù)系統(tǒng)的實根計算問題。實驗結(jié)果表明,該方法效率更高。
　　5.基于三種經(jīng)典結(jié)式矩陣之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,通過構(gòu)造中間矩陣