拉壓不同模量問題非線性分析高性能算法研究.pdf

1、實際工程中，諸如混凝土、玻璃纖維、石墨等材料都呈現(xiàn)出拉、壓性能不同的力學行為;且隨著溫度的升高，材料的拉、壓性能差異逐漸增大。近年來，隨著材料制造技術(shù)的迅猛發(fā)展和工業(yè)生產(chǎn)規(guī)模的不斷擴大，大量的復合材料被廣泛地應用到航空、航天、土木工程等領(lǐng)域。一些復合材料不僅表現(xiàn)出各向異性的力學特性，在單個材料方向上同樣也呈現(xiàn)出拉伸和壓縮不同的力學行為。具有拉、壓不同模量的材料也被稱作雙模量材料。對于這類材料而言，若仍采用經(jīng)典的胡克定律對其進行力學分析，

2、勢必會引入很大的分析誤差。這時，便需要采用拉、壓不同模量彈性理論（也稱作“雙模量彈性理論”）。大量研究表明基于雙模量彈性理論的材料力學行為數(shù)值分析通常存在收斂性困難。從計算方法的角度講，發(fā)展針對拉、壓不同模量材料力學分析的高性能算法顯得十分必要。另一方面，由繩索和桿件組成的張拉整體結(jié)構(gòu)，以及薄膜結(jié)構(gòu)都具有輕質(zhì)、可折疊等特性，可用作可展開的小衛(wèi)星和太陽能帆板等結(jié)構(gòu)的部件。繩索和薄膜均能承受較大的拉伸載荷;而當承受壓縮載荷時，繩索會松弛，薄

3、膜則會局部起褶。此類柔性結(jié)構(gòu)的力學分析呈現(xiàn)出很強的非線性特征。若直接進行后屈曲分析，算法魯棒性往往欠佳。因此，尋找合適的力學模型，并發(fā)展高效、穩(wěn)定的求解方法對于實際工程分析具有重要意義。
　　本文首先介紹了拉、壓不同模量材料、tensegrity結(jié)構(gòu)和薄膜褶皺分析的研究背景和現(xiàn)狀，特別討論了拉、壓不同模量問題的研究意義和難點。分別建立了拉、壓不同模量桁架、平面連續(xù)體小變形和大位移、小應變力學分析的參變量變分原理和數(shù)值方法，推導了適

4、用于clusteredtensegrity結(jié)構(gòu)和經(jīng)典tensegrity結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一切線剛度矩陣，并發(fā)展了高效穩(wěn)定的計算方法，實現(xiàn)了對結(jié)構(gòu)主動激勵和展開過程的數(shù)值模擬。本文主要內(nèi)容包含以下五個部分:
　　第一，建立了適用于拉、壓不同模量桁架小變形靜、動力分析的參變量變分原理和保辛算法。推導了拉、壓不同模量桿件在不同應力狀態(tài)下的參變量統(tǒng)一本構(gòu)方程，并證明了其與原本構(gòu)方程之間的等價性?；趨?shù)最小勢能原理，推導出問題的有限元平衡方程和互

5、補方程。新算法不需要更新剛度矩陣，表現(xiàn)出較高的計算效率。此外，基于Hamilton力學體系發(fā)展了拉、壓不同模量桿件的動力參變量變分原理和保辛算法，將算法擴展到拉、壓不同模量桁架動力響應分析。
　　第二，建立了適用于拉、壓不同模量桁架和tensegrity結(jié)構(gòu)大位移、小應變分析的參變量共旋算法。利用共旋坐標法將桿件的大位移、小應變變形分解為整體坐標系下的剛體運動和局部坐標系下的小變形;繩索抗拉、不抗壓的力學行為由局部坐標系下的參變量

6、統(tǒng)一本構(gòu)方程描述。推導了含有參數(shù)變量的桿件單元切線剛度矩陣。繩索和桿件單元的節(jié)點內(nèi)力首先在局部坐標系下由參變量統(tǒng)一本構(gòu)方程計算得到，而后由轉(zhuǎn)換矩陣將其轉(zhuǎn)換到整體坐標系下，集成結(jié)構(gòu)節(jié)點內(nèi)力向量。在非線性求解過程中，參變量共旋算法避免了對桿件和繩索拉、壓狀態(tài)的直接判斷，表現(xiàn)出穩(wěn)定的收斂性。算法也能準確預測tensegrity結(jié)構(gòu)中松弛繩索的分布情況。
　　第三，推導了針對clusteredtensegrity結(jié)構(gòu)非線性分析的切線剛度矩

7、陣，并發(fā)展了高效的計算方法。由于clustered繩索的存在，clusteredtensegrity結(jié)構(gòu)比經(jīng)典tensegrity結(jié)構(gòu)擁有更多的內(nèi)部機構(gòu)運動數(shù)目，表現(xiàn)出更“柔”的力學特性，因而具有主動易控和可展開（折疊）的優(yōu)良特性。本文基于共旋坐標法，推導了一個新的切線剛度矩陣。與經(jīng)典tensegrity結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣相比，該剛度矩陣包含了描述滑輪運動的附加剛度部分，且能夠退化到經(jīng)典結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，因而對于有限元程序?qū)崿F(xiàn)和軟件集成都

8、十分方便。利用新的切線剛度矩陣，實現(xiàn)了對clusteredtensegrity結(jié)構(gòu)的主動激勵和展開過程的數(shù)值模擬。本文方法表現(xiàn)出比力密度法和動力松弛法更好的收斂性。
　　第四，針對拉、壓不同模量二維連續(xù)體力學分析，建立了單元體在四種不同主應力狀態(tài)下的參變量統(tǒng)一本構(gòu)方程和參數(shù)勢能表達式，并證明了統(tǒng)一本構(gòu)方程的等價性。對于數(shù)值離散后的勢能表達式，由參變量變分原理推導出問題的有限元平衡方程和互補方程，發(fā)展了相應的數(shù)值算法。算法執(zhí)行過程中

9、，避免了直接地判斷單元的拉、壓應力狀態(tài)，因而不需要更新剛度矩陣。與傳統(tǒng)算法相比，新算法克服了剛度矩陣隨應力狀態(tài)變化而容易發(fā)生奇異這一難點，展現(xiàn)出良好的收斂性。進一步考慮慣性力項，建立了拉、壓不同模量平面材料的動力參變量變分原理和參數(shù)勢能表達式，發(fā)展了新的動力積分算法。靜、動力分析算法可對薄膜的褶皺分布區(qū)域及其變化過程進行定性預測。
　　第五，建立了適用于拉、壓不同模量二維連續(xù)體大位移、小應變分析的參變量共旋算法。在小變形分析的基礎(chǔ)

10、上，進一步考慮幾何非線性因素;將參變量變分原理與共旋坐標法結(jié)合，推導了含有參數(shù)變量的單元切線剛度矩陣。由于在局部坐標系下采用了參變量統(tǒng)一本構(gòu)方程，計算單元節(jié)點內(nèi)力時無需通過判斷單元當前所處的主應力狀態(tài)來更新局部剛度矩陣，很大程度上改善了算法的收斂性。數(shù)值算例體現(xiàn)了參變量共旋算法相對于傳統(tǒng)算法的收斂性優(yōu)勢?；诓牧闲拚枷?，提出了一個基于主應力的薄膜褶皺分析模型，并將參變量共旋算法成功地應用到薄膜起褶數(shù)值分析。兩個薄膜褶皺分析的典型算例證