時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性和Hopf分岔分析.pdf

1、時(shí)滯微分方程一種十分常見(jiàn)且與日常生活密切相關(guān)的動(dòng)力系統(tǒng)。研究時(shí)滯微分方程對(duì)我們能更好地發(fā)展社會(huì)有非常重要的作用。在近年來(lái)，時(shí)滯微分方程已經(jīng)是研究者研究的一個(gè)重要課題，同時(shí)越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注時(shí)滯微分方程這一領(lǐng)域。非線性微分方程，存在著由非線性產(chǎn)生的不穩(wěn)定性問(wèn)題，使得微分方程的動(dòng)力學(xué)特性具有復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)方式?？紤]到系統(tǒng)反映滯后由此而引入的時(shí)滯，進(jìn)一步使得微分方程的研究越來(lái)越復(fù)雜。有時(shí)候考慮到不同因數(shù)的影響還要給系統(tǒng)加入效應(yīng)方程，這樣系統(tǒng)將

2、更加復(fù)雜，進(jìn)而需要探究帶有時(shí)滯和效應(yīng)方程的一些新的適合系統(tǒng)的理論方法，去分析它的穩(wěn)定性、分岔、分岔周期方向等動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。因此，在理論研究上與常微分方程相比帶時(shí)滯微分方程具有更大的難度。
　　本文首先對(duì)帶有兩個(gè)時(shí)滯的系統(tǒng)進(jìn)行分析。描述新系統(tǒng)與原系統(tǒng)的區(qū)別，計(jì)算得到非負(fù)平衡點(diǎn)存在的條件，結(jié)合雅克比矩陣的特征方程的知識(shí)討論其非負(fù)平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性，求證Hopf分岔的存在性，并結(jié)合數(shù)學(xué)計(jì)算推導(dǎo)出Hopf分岔點(diǎn)。根據(jù)中心流形定

3、理和規(guī)范性理論，將二者進(jìn)行結(jié)合可進(jìn)一步求出Hopf分岔的方向、運(yùn)動(dòng)軌道的周期和周期隨時(shí)滯的變化性。要對(duì)上面求解，首先要利用泰勒公式展開(kāi)式將描述的系統(tǒng)展開(kāi)，從而得到線性部分和非線性部分的相關(guān)系數(shù)表達(dá)式。其次是運(yùn)用相關(guān)知識(shí)對(duì)決定Hopf分岔的方向、運(yùn)動(dòng)軌道的周期的表達(dá)式進(jìn)行求解，對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)在滿足推出的條件下進(jìn)行數(shù)值仿真。根據(jù)仿真所得到系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖和相圖我們可以觀察到，在不同條件下參數(shù)變化改變了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。當(dāng)時(shí)滯不斷增大時(shí)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

4、漸近穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定，并在某一點(diǎn)發(fā)生了Hopf分岔。結(jié)合所推出的理論說(shuō)明時(shí)滯能改變微分方程的動(dòng)力學(xué)特性。
　　接著，在原系統(tǒng)基礎(chǔ)上給其加入時(shí)滯，是第二個(gè)時(shí)滯微分方程。利用相同的理論方法，討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔，及求出分岔點(diǎn)，利用泰勒公式展開(kāi)式、中心流形定理和規(guī)范化理論可以得到分岔點(diǎn)的Hopf分岔的方向、運(yùn)動(dòng)軌道的周期和周期隨時(shí)滯的變化性。
　　最后，將原系統(tǒng)進(jìn)行變化，給其多加入一個(gè)時(shí)滯。我們得到新的系統(tǒng)，這就是下