分數(shù)階微分方程的高階算法及理論分析.pdf

1、近年來,分數(shù)階微分方程被廣泛的應用于各科學領域:例如,力學(粘彈性和粘塑性理論)、生物化學(聚合物和蛋白質模型)、電氣工程(超聲波的傳播)、醫(yī)學(在機械負載下人體組織模型)等.又由于分數(shù)階算子的非局部性質,獲得分數(shù)階微分方程的精確解變得更加的困難(有時甚至是不可能的),因此怎樣高效的求解分數(shù)階微分方程的數(shù)值算法成為一個緊迫的課題。
　　本文由下述五章組成:
　　第一章,簡要回顧了分數(shù)階算子的發(fā)展脈絡及在不同學科領域的廣泛應用

2、。
　　第二章,由于分數(shù)階算子的非局部性質,分數(shù)階導數(shù)的高階離散格式相比一階離散格式扮演著更加重要的作用。其顯著的特征是:在保持相同的計算量條件下,前者極大的提高了算法的精度。本章的核心是:建立空間分數(shù)階導數(shù)的一類四階精度逼近格式,我們稱之為加權和位移的Lubich差分(WSLD)算子.然后將其應用于求解一維和二維變系數(shù)的空間分數(shù)階擴散方程,并給出了差分格式的無條件穩(wěn)定性及收斂性證明,數(shù)值結果表明全局截斷誤差為O(τ2+h4).<

3、br>　　第三章,我們討論分數(shù)階物質積分(此處公式省略)和分數(shù)階物質導數(shù)（此處公式省略）的性質,其中。Ds=?/?x+σ=D+σ,σ為常數(shù)或者與x無關的函數(shù),如σ(y);m是不小于μ的最小整數(shù).利用Fourier變換方法和分數(shù)階線性多步法探討分數(shù)階物質微積分的性質并導出其離散格式.給出了差分格式的收斂性證明及數(shù)值例子表明全局截斷誤差為O(hp)(p=1,2,3,4,5).
　　第四章。Feynman-Kac方程是用于描述擴散現(xiàn)象的

4、泛函分布規(guī)律的一類偏微分方程.具有概率密度函數(shù)的布朗泛函滿足Feynman-Kac方程,其對應于虛時間方向的Schr¨odinger方程.在研究非布朗泛函或者反常擴散現(xiàn)象時,導出了分數(shù)階Feynman-Kac方程,其中引入了分數(shù)階物質導數(shù)的定義.基于對分數(shù)階物質導數(shù)離散性質(第三章)的分析,本章關注于建立向前和向后的分數(shù)階Feynman-Kac方程的數(shù)值算法;由于分數(shù)階物質導數(shù)是非局部的時空耦合的算子,相比于經(jīng)典的分數(shù)階導數(shù),將帶來新的

5、挑戰(zhàn).我們用兩種方法(有限差分和有限元法)離散空間導數(shù).對向后的分數(shù)階Feynman-Kac方程,給出了時間方向為一階精度數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂性證明.對提供的所有算法,包括向前和向后的分數(shù)階Feynman-Kac方程的一階和高階格式,數(shù)值例子表明了算法的有效性。
　　第五章,具有時間分數(shù)階物質導數(shù)和空間分數(shù)階導數(shù)的方程描述的是L′evy飛行的泛函分布規(guī)律;基于在無界區(qū)域的連續(xù)時間隨機行走模型導出的該方程,它的L′evy飛行的二階

6、矩是發(fā)散的.然而,在更多的實際問題中,物理區(qū)域是有界的及有關的觀察是有限矩的.因此改進的方式是對L′evy飛行的L′evy測度作截斷,它對應于回火的(tempered)空間分數(shù)階導數(shù).本章主要關注于建立改良方程的高階算法,即,具有時間分數(shù)階物質導數(shù)和空間分數(shù)階回火導數(shù)的方程.更具體的說,本章的工作如下:1.在復空間中,證明了時間方向為一階精度,空間方向為二階精度算法的穩(wěn)定性及收斂性,這些證明是必要的,因為我們還需要對所求方程的泛函分布作