幾類流體力學(xué)方程的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)和大偏差.pdf

1、隨機(jī)偏微分方程作為描述受隨機(jī)影響的復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型越來(lái)越引起數(shù)學(xué)工作者的注意,并且在力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、地球物理學(xué)、大氣海洋氣候?qū)W等中得到了廣泛的應(yīng)用.本論文研究幾類流體力學(xué)方程形成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的漸進(jìn)行為,同時(shí)還研究由大偏差描述的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的小概率事件。全文的安排如下:
　　 第一章簡(jiǎn)單回顧了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的一些基本知識(shí)和理論,主要包括確定動(dòng)力系統(tǒng),隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),全局隨機(jī)吸引子,有限Hausdorff維數(shù)和大偏差的定義.進(jìn)一

2、步,給出了全局隨機(jī)吸引子存在性定理1.2.1和定理1.2.2,同時(shí)也給出隨機(jī)吸引子的Hausdorff維數(shù)是有界不變隨機(jī)變量的一個(gè)判定定理.最后,我們列出該論文的安排,主要問(wèn)題和結(jié)果。
　　 第二章研究可加噪聲驅(qū)使的三維隨機(jī)Navier-Stokes-Voight方程的漸進(jìn)行為.確定三維粘彈性Navier-Stokes-Voight方程的正則性和全局吸引子在文獻(xiàn)[55,56]中給出.本章在此基礎(chǔ)上,考慮可加噪聲驅(qū)使的隨機(jī)效應(yīng)的影

3、響,通過(guò)考慮輔助方程我們將隨機(jī)Navier-Stokes-Voight方程轉(zhuǎn)化成帶有隨機(jī)系數(shù)的偏微分方程.這樣處理的好處在于由于不出現(xiàn)隨機(jī)積分,我們可以按軌道幾乎處處處理問(wèn)題,從而避免討論依賴初值的方程解的期望.于是由Feado—Galerkin方法我們證得了方程弱解的存在性和唯一性.由一致先驗(yàn)估計(jì)和漸進(jìn)緊性,我們得到了生成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)存在全局隨機(jī)吸引子,并且該吸引子的Hausdorff維數(shù)是有限的。
　　 第三章,我們研究帶

4、有隨機(jī)邊界擾動(dòng)的Boussinesq系統(tǒng)的小概率事件,其用大偏差準(zhǔn)則來(lái)描述.該系統(tǒng)模擬了氣候?qū)W的各種現(xiàn)象,例如海洋密度電流和熱鹽循環(huán).由于邊界鹽度流通的不確定性[36,39,73],我們考慮邊界隨機(jī)效應(yīng)的影響.帶有隨機(jī)邊界擾動(dòng)的隨機(jī)拋物偏微分方程的動(dòng)力學(xué)可以參考文獻(xiàn)[25,26,82,84],由于我們研究的系統(tǒng)耦合了Navier-Stokes方程,處理方法有所不同.通過(guò)將隨機(jī)邊界條件嵌入一隨機(jī)發(fā)展方程中,PBrune,J.Duan和B.

5、Schmalfuss[10]得到了可加噪聲驅(qū)使的帶有隨機(jī)邊界擾動(dòng)的Boussinesq系統(tǒng)存在隨機(jī)吸引子.在此基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步研究乘法噪聲驅(qū)使的隨機(jī)邊界擾動(dòng)的Boussinesq系統(tǒng),由Galerkin逼近,我們得到相應(yīng)系統(tǒng)解的適定性和一系列先驗(yàn)估計(jì).最后,由弱收斂方法[13]得到大偏差準(zhǔn)則,最近該方法還被應(yīng)用于[38,79,82]。
　　 第四章研究不同噪聲驅(qū)使的隨機(jī)原始方程.首先,我們研究三維可加噪聲驅(qū)使的隨機(jī)原始方程,確

6、定原始方程整體強(qiáng)解的存在性和唯一性在Cao和Titi[16]中被證明,其要求在頂部和底部滿足Neumann邊界條件,接著全局吸引子在[49]中給出,沿著[16]和[49]的研究線路,B.Guo和D.Huang[48]研究了可加噪聲驅(qū)使的三維隨機(jī)原始方程的全局適定性和長(zhǎng)時(shí)動(dòng)態(tài)行為,得到方程存在隨機(jī)吸引子,但該吸引子僅僅滿足弱緊性質(zhì).這里,我們應(yīng)用不同于文獻(xiàn)[48]的先驗(yàn)估計(jì),Aubin-Lions緊性引理,Riesz引理和一些連續(xù)性結(jié)論,

7、同樣得到強(qiáng)解的全局適定性,并且得到方程存在緊的全局吸引子,進(jìn)一步,我們得出吸引子具有有限Hausdorff維數(shù).其次,我們研究二維乘法噪聲驅(qū)使的隨機(jī)原始方程.忽略鹽度和溫度方程的耦合,二維乘法噪聲驅(qū)使的隨機(jī)原始方程的弱解的存在性和唯一性在[47]中被得到.本論文中,我們推廣了[47]的結(jié)果,應(yīng)用不同的且更細(xì)致的先驗(yàn)估計(jì),得到耦合溫度方程的二維乘法噪聲驅(qū)使的隨機(jī)原始方程的解的適定性,進(jìn)一步得到其滿足Wentzell—Freidlin型的大