逐段決定馬爾可夫過(guò)程及其在金融保險(xiǎn)中的應(yīng)用.pdf

1、南開(kāi)大學(xué)博士學(xué)位論文逐段決定馬爾可夫過(guò)程及其在金融保險(xiǎn)中的應(yīng)用姓名：何敬民申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：博士專業(yè)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)指導(dǎo)教師：吳榮20080401V I 摘 要何運(yùn)用這一理論去解決保險(xiǎn)業(yè)中的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題．基于上述理論和研究背景，我的博士學(xué)位論文主要致力于由一些逐段決定馬爾可夫過(guò)程來(lái)描述盈余過(guò)程的破產(chǎn)理論和首中時(shí)的研究．本篇論文的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容安排如下：第一章，主要回顧逐段決定馬爾可夫過(guò)程的定義，古典風(fēng)險(xiǎn)模型、模型中一些基本定義并簡(jiǎn)要敘述論文的主要

2、內(nèi)容．第二章，研究由逐段決定馬爾可夫過(guò)程描述的風(fēng)險(xiǎn)盈余過(guò)程．此逐段決定馬爾可夫過(guò)程具有一個(gè)外部狀態(tài)，并且狀態(tài)空間是實(shí)數(shù)．也就是說(shuō)，它只有一個(gè)向量域。這種風(fēng)險(xiǎn)盈余過(guò)程是1 9 8 9 年D a s s i o s 和E m b r c c h t s 所考慮的風(fēng)險(xiǎn)模型的一種特例，它被W a n g c t a l ( 2 0 0 3 ) 討論過(guò)。我們主要研究此盈余過(guò)程的破產(chǎn)概率和G e r b e r - S h i u 折現(xiàn)罰金函數(shù)．通

3、過(guò)鞅測(cè)度變換，我們得到破產(chǎn)概率的表示形式．借助于局部調(diào)節(jié)系數(shù)，我們得到破產(chǎn)概率的兩個(gè)指數(shù)型上界．另外， G e r b e r ．S h i u折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足一個(gè)V o l t e r r a 積分方程．利用V o l t e r r a 積分方程的解，我們把D i c k s o n 公式推廣到這種盈余過(guò)程．最后，利用2 0 0 5 年W u 等教授的方法，我們得到期望折現(xiàn)罰金函數(shù)另一種表達(dá)方式。第三章，研究保費(fèi)依賴當(dāng)前盈余的風(fēng)險(xiǎn)盈

4、余過(guò)程，這種風(fēng)險(xiǎn)盈余過(guò)程在1 9 9 5年就被A s m u s s e n 和N i e l s e n 研究過(guò)．參考A s m u s s c na n dN i e l s e n ( 1 9 9 5 ) 和A s -m u s s c n ( 2 0 0 0 ) ．很容易驗(yàn)證這種盈余過(guò)程是逐段決定馬爾可夫過(guò)程．首先，我們得到破產(chǎn)時(shí)，破產(chǎn)前瞬間余額和破產(chǎn)赤字三者的聯(lián)合分布．其次，我f r i l l 入了由這種盈余過(guò)程在z 點(diǎn)構(gòu)成

5、的瑕疵的更新測(cè)度，并且給出其表達(dá)式．借助其表達(dá)式和盈余過(guò)程的強(qiáng)馬氏性，我們精確得到首中時(shí)的分布．更進(jìn)一步，得到破產(chǎn)前的最大值分布，破產(chǎn)后盈余過(guò)程首次穿過(guò)零點(diǎn)前的最大值和最小值的聯(lián)合分布和盈余過(guò)程末離零點(diǎn)前的最大值和最小值的聯(lián)合分布．第四章，討論E m b r e c h t s - S c h m i d l i 模型。這種模型是由E m b r e c h t s 和S c h m i d l i在1 9 9 4 年首次提出．這種模型

6、假設(shè)當(dāng)公司的資金出現(xiàn)赤字，允許公司借錢，并且當(dāng)資金高于一定水平，公司可以獲得利息．所有這些模型都是逐段決定馬爾可夫過(guò)程．本章將研究它的一個(gè)特殊情形，此情形由D a s s i o s 和E m b r e c h t s 在1 9 8 9年首次提出， Z h a n g 和W u 在1 9 9 9 年稱之“D —E ”模型．我們利用逐段決定馬爾可夫過(guò)程的理論來(lái)構(gòu)造一個(gè)鞅，然后利用最優(yōu)停時(shí)定理得到首中時(shí)的拉普拉斯變換。另外，在實(shí)務(wù)中公司的

7、破產(chǎn)概率是很小的，因此只用破產(chǎn)概率做為評(píng)估準(zhǔn)則是極端保守的．還有一種情況是，被考慮的投資組合只是公司許多業(yè)務(wù)中的一項(xiàng)，在投資組合業(yè)務(wù)出現(xiàn)赤字的情況下，該公司有足夠的資金可用來(lái)支撐負(fù)的盈余一段時(shí)間，以期待該組合在將來(lái)恢復(fù)，該公司可以繼續(xù)保持這方面的業(yè)務(wù)．在這種條件下，也許更有趣的問(wèn)題是破產(chǎn)發(fā)生后，風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程在零點(diǎn)以下運(yùn)行多長(zhǎng)時(shí)間，也就是說(shuō)，所有負(fù)盈余持續(xù)的時(shí)間。利用過(guò)程的強(qiáng)馬氏性和首中時(shí)的拉普拉斯變換，我們獲得總的負(fù)持續(xù)時(shí)的拉普拉斯變換．第