0-課程導論

1、Function of Complex Variable and Integral Transform 復變函數與積分變換,姜偕富 杭州電子科技大學 自動化學院 第二教學科研樓 南樓 218 Tel: 86919134Email: jiangxf@hdu.edu.cn,工程數學 課程簡介,一、復變函數的地位,二、復變函數與積分變換的發(fā)展歷史,三、復變函數與積分變換的應用,工程數學,復變函數與積分變換,四、教材

2、與主要參考書,五、課程內容,六、教學與考核方式,一、復變函數的地位,工程數學,美國著名數學史家 M. Kline在其著作(《古今數學思想》(MathematicalThought from Ancient to Modern Times）中指出： 從技術觀點來看，19世紀最獨特的創(chuàng)造是單復變函數理論。 象微積分的直接擴展統(tǒng)治了18世紀那樣，該數學分支幾乎統(tǒng)治了19世紀。 這一豐饒的數學分支，一直被稱為這個世紀的數學享受，也曾被稱為

3、抽象科學中最和諧的理論。,復變函數與積分變換,工程數學,復變函數與積分變換,二、復變函數與積分變換的發(fā)展歷史,工程數學,復變函數與積分變換,英國數學家沃利斯（J. Wallis, 1616-1703）第一個將復數,a+bi 利用笛卡爾坐標平面上的點 a+bi 來表示，其后又有很多人獨立完善了沃利斯的表示方法。,二、復變函數與積分變換的發(fā)展歷史,到了十八世紀，虛數才開始被關注起來。,工程數學,復變函數與積分變換,二、復變函數與積分變換的發(fā)

4、展歷史,十八世紀末，高斯使得復數的地位被確立下來。,工程數學,復變函數與積分變換,高斯和哈密頓（W.R. Hamilton, 1805-1865）分別在1831和1837年定義復數 a+bi 為一對實數 (a, b)。因此，復數可以用一對實數來處理算術運算，復數理論轉變?yōu)橐粚崝档睦碚摗?二、復變函數與積分變換的發(fā)展歷史,十九世紀，復變函數論開始形成，并逐漸發(fā)展成一個龐大的數學分支?？挛?、維爾斯特拉斯和黎曼在奠定了復變函數理論基礎?？挛?/p>

5、和維爾斯特拉斯應用積分和級數研究復變函數，黎曼研究了復變函數的映射(幾何)性質。,工程數學,復變函數與積分變換,十八世紀，達朗貝爾和歐拉等人逐步闡明了復數的幾何意義，澄清了復數概念，并應用復數和復變函數研究了流體力學等方面的問題。此后人們才逐漸接受了復數，復變函數論才能順利的建立和發(fā)展。,柯西將一個復變函數 f(z) 視為復數 z 的一元函數來研究。1814年柯西定義的正則函數（解析函數）要求 f(z) 的導數存在且連續(xù)。,二、復變函數

6、與積分變換的發(fā)展歷史,工程數學,復變函數與積分變換,1900年，法國數學家古薩（E. Goursat, 1858-1936）免去了導數必須連續(xù)的條件，建立了柯西-古薩基本定理。,盡管柯西-黎曼方程（C-R方程）早在1746年就已出現，但是由于柯西在復積分方面的貢獻以及他建立了系統(tǒng)的理論，人們還是認為柯西是復分析的創(chuàng)始人。,二十世紀初，復變函數論又有了很大的進展，瑞典數學家列夫勒（維爾斯特拉斯的學生）、法國數學家龐加萊、阿達瑪等都作了大量

7、的研究工作，開拓了復變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發(fā)展做出了貢獻。1930年代，多復變函數研究迎來初步繁榮，出現了嘉當關于全純自同構的惟一性定理、有界域全純自同構群的李群性質及全純域與全純凸的等價性的嘉當－蘇倫定理。,二、復變函數與積分變換的發(fā)展歷史,工程數學,復變函數與積分變換,1936年開始，日本數學家岡潔對庫辛問題、列維問題、逼近問題等多復變的中心問題進行了長期、系統(tǒng)而富有成效的研究，對多復變函數論發(fā)展有著重大影響。1

8、950年代是多復變函數論發(fā)展的黃金時代，數學家們通過拓撲方法和幾何方法研究全純函數的整體性質。嘉當、勒雷、施泰因等建立了凝聚解析層和復空間理論，格勞爾特解決了復流形等問題。,1930年代開始，我國數學家在單復變和多復變函數方面做過不少重要工作：1940-1950年代，華羅庚關于多復變函數典型域上調和分析的研究，在調和分析、復分析、微分方程等研究中，有廣泛深入的影響；1970年代，楊樂、張廣厚在單復變函數的值分布的漸近值理論中取得首創(chuàng)成果

9、。,二、復變函數與積分變換的發(fā)展歷史,工程數學,復變函數與積分變換,二、復變函數與積分變換的發(fā)展歷史,積分變換就是通過參變量的積分 將一個已知函數 f(x) 變換為另一個函數 F(s)。積分變換理論在數學理論的多個分支，及力學、電磁學、光學、信號處理、自動控制等許多科學技術領域發(fā)揮重要作用。1880-1887年，英國電氣工程師海維賽德（O. Heaviside）為了解決電工計算中的微分方程，用算子將微分方程變換為代數方程，成為

10、拉普拉斯變換的先驅。后來人們在拉普拉斯的著作中找到了依據，取名拉普拉斯變換。最重要的積分變換有傅里葉變換、拉普拉斯變換，除此還有梅林變換和漢克爾變換等。傅里葉變換將時域或空間域信號轉換為頻域信號；拉普拉斯變換則將信號從時域轉換到復頻域上表示。,用于計算某些復雜的實函數的積分，如 法國數學家阿達瑪（J. Hadamard，1865-1963）說: 實域中兩個真理之間的最短路程是通過復域。,三、復變函數與積分變換的應用,(

11、3) 用于求解偏微分方程，如,工程數學,復變函數與積分變換,(5) 用于計算滲流等問題，如：大壩、鉆井的浸潤曲線,對其他數學學科的影響　 深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科，對它們的發(fā)展很有影響。例如：高斯應用復變函數理論證明了代數基本定理，建立了代數方程的普遍理論。,(4) 用于流體的平面平行流動等問題,(6) 應用于計算繞流問題中的壓力和力矩等,(7) 應用于平面熱傳導問題、電(磁)場強度 例如

12、：熱爐中溫度的計算,俄羅斯航空之父茹可夫斯基在設計飛機時，用復變函數論的共形映射(第六章)解決機翼的結構問題，他在運用復變函數論解決流體力學/航空力學方面也做出重要貢獻。,(8) 洛朗級數應用于數字信號處理 用洛朗級數(第四章)直接寫出離散數字信號的 Z 變換,工程數學,復變函數與積分變換,(9) 輻角原理和共形映射應用于自動控制 將輻角原理(第五章)用于自動控制中線性系統(tǒng)的頻域分析，建立Nyquist穩(wěn)定性判據

13、；利用共形映射(第六章)中的分式線性映射研究線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,(11) Fourier 變換用于頻譜分析、自動控制和信號處理等,(10) 復變函數理論也是積分變換的重要基礎,積分變換在許多領域被廣泛地應用，如電力工程、通信和自動控制領域以及信號分析、圖象處理和其他許多數學、物理和工程技術領域。,頻譜分析是對各次諧波的頻率、振幅、相位間的關系進行分析。在自動控制中，輸出的傅氏變換比輸入的傅氏變換就是系統(tǒng)的頻率特性。隨著計算機發(fā)展

14、，語音、圖象等信號，在頻域中的處理方便得多，如快速傅立葉變換。,(12) Laplace 變換用于自動控制等問題,在自動控制問題中，傳遞函數是輸出的Laplace變換與輸入的Laplace變換之比。,工程數學,復變函數與積分變換,四、教材與參考書,教材： 復變函數（第四版）. 西安交通大學. 高等教育出版社, 1996 積分變換（第五版）. 張元林. 高等教育出版社, 2012主要參考書 1. 復變函

15、數論（第三版）. 鐘玉泉. 高等教育出版社, 20042. 復變函數論（第四版）. 余家榮. 高等教育出版社, 20073. 復變函數與積分變換（第二版）. 蓋云英等. 科學出版社, 20074. 復變函數與積分變換（第三版）. 華中科技大學. 高等教育出版社, 20085. Complex Variables and Applications (8th Ed.). J. W. Brown, R. V. Churchill. M

16、cGraw-Hill, 2007.6. Functions of One Complex Variable (2nd Ed.). J. B. Conway. Springer, 1993,工程數學,復變函數與積分變換,五、教學內容,本課程由復變函數與積分變換兩個部分組成。,復變函數的內容包括：復數與復變函數、解析函數、復,變函數的積分、級數、留數、共形映射。,其中，部分帶 “*” 號的內容本課堂不需要掌握。,積分變換的內容包括：Fou

17、rier變換、Laplace變換。,工程數學,復變函數與積分變換,本課程的主要內容,1 復數與復變函數,2 解析函數,3 復變函數的積分,4 級數,5 留數,6 共形映射,7 Fourier變換,五、教學內容,8 Laplace變換,工程數學,復變函數與積分變換,六、教學及考核方式,考試方式： 閉卷,課程成績： 平時成績占 20-30% 考試成績占 70-80%,作業(yè)